Verifique se, para cada um dos itens abaixo, o subconjunto S do espaço vetorial V é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). S=\left\{\left(\begin{array}{rr}-2 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{rr}-1 & 3 \\\\ 1 & 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}-3 & -1 \\\\ -1 & -2\end{array}\right)\right\}, V=M_{2}(\mathbb{R}).
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o subconjunto S do espaço vetorial V é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). As informações fornecidas são exatamente estas três matrizes em M_{2}(\mathbb{R}):
Definição (explicada passo a passo): um conjunto de vetores (aqui, matrizes) é linearmente independente quando a única combinação linear que produz a matriz zero é a combinação trivial, isto é, quando
\alpha A+\beta B+\gamma C=0
implica \alpha=\beta=\gamma=0. Se existir alguma combinação com coeficientes não todos nulos que dá a matriz nula, então o conjunto é linearmente dependente. A estratégia prática é colocar \alpha,\beta,\gamma desconhecidos, escrever a equação acima e igualar as entradas correspondentes para obter um sistema linear em \alpha,\beta,\gamma.
Passo 3
Escrevendo a combinação linear e igualando à matriz zero:
Em particular, existe uma solução não trivial (ou seja, com coeficientes não todos zero): escolher t=1 dá (\alpha,\beta,\gamma)=(-2,1,1). Vamos verificar explicitamente que essa escolha funciona:
Entrada (2,2): -2(1)+4+(-2)=-2+4-2=0.
Todas as entradas são zero, logo a combinação não-trivial realmente produz a matriz zero.]
Passo 7
Como encontramos coeficientes \alpha,\beta,\gamma não todos nulos tal que \alpha A+\beta B+\gamma C=0, isso mostra que o conjunto S admite uma combinação linear não-trivial que dá a matriz nula. Pelo que vimos na definição, isso significa que S é linearmente dependente.