Verifique se, para cada um dos itens abaixo, o subconjunto S do espaço vetorial V é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
S=\left\{\left(\begin{array}{rr}-2 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{rr}-1 & 3 \\\\ 1 & 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}-3 & -1 \\\\ -1 & -2\end{array}\right)\right\}, V=M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto S do espaço vetorial V é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). As informações fornecidas são exatamente estas três matrizes em M_{2}(\mathbb{R}):
A=\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}-1 & 3 \\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}-3 & -1 \\[4pt] -1 & -2\end{pmatrix}.
Queremos determinar se S=\{A,B,C\} é LI ou LD.]

Passo 2

Definição (explicada passo a passo): um conjunto de vetores (aqui, matrizes) é linearmente independente quando a única combinação linear que produz a matriz zero é a combinação trivial, isto é, quando
\alpha A+\beta B+\gamma C=0
implica \alpha=\beta=\gamma=0. Se existir alguma combinação com coeficientes não todos nulos que dá a matriz nula, então o conjunto é linearmente dependente. A estratégia prática é colocar \alpha,\beta,\gamma desconhecidos, escrever a equação acima e igualar as entradas correspondentes para obter um sistema linear em \alpha,\beta,\gamma.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear e igualando à matriz zero:
\alpha\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}-1 & 3 \\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}-3 & -1 \\[4pt] -1 & -2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Equacionando entrada por entrada (cada posição da matriz gera uma equação escalar) obtemos o sistema:
\begin{cases} -2\alpha - \beta - 3\gamma = 0 &\text{(entrada (1,1))},\\[4pt] \alpha + 3\beta - \gamma = 0 &\text{(entrada (1,2))},\\[4pt] \beta - \gamma = 0 &\text{(entrada (2,1))},\\[4pt] \alpha + 4\beta - 2\gamma = 0 &\text{(entrada (2,2))}. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema começando pela equação mais simples: da terceira equação temos
\beta - \gamma = 0 \quad\Rightarrow\quad \beta=\gamma.
Isso já reduz o número de incógnitas efetivas.

Passo 5

Substituímos \beta=\gamma nas demais equações.
  • Na primeira equação:
-2\alpha - \beta -3\gamma = -2\alpha -\beta -3\beta = -2\alpha -4\beta = 0
que dá
\alpha + 2\beta = 0.
  • Na segunda equação:
\alpha + 3\beta -\gamma = \alpha + 3\beta -\beta = \alpha + 2\beta = 0,
mesma equação.
  • Na quarta equação:
\alpha + 4\beta -2\gamma = \alpha +4\beta -2\beta = \alpha +2\beta = 0,
novamente a mesma equação. Portanto todas as equações são consistentes e se reduzem a
\alpha + 2\beta = 0,\qquad \beta=\gamma.

Passo 6

Da relação \alpha + 2\beta=0 obtemos \alpha = -2\beta. Como \beta é livre (podemos escolher qualquer valor), o sistema tem infinitas soluções da forma
(\alpha,\beta,\gamma)=(-2t,\,t,\,t),\quad t\in\mathbb{R}.
Em particular, existe uma solução não trivial (ou seja, com coeficientes não todos zero): escolher t=1 (\alpha,\beta,\gamma)=(-2,1,1). Vamos verificar explicitamente que essa escolha funciona:
-2A + 1\cdot B + 1\cdot C = -2\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-1 & 3 \\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-3 & -1 \\[4pt] -1 & -2\end{pmatrix}.
Calculando entrada a entrada:
  • Entrada (1,1): -2(-2)+(-1)+(-3)=4-1-3=0.
  • Entrada (1,2): -2(1)+3+(-1)=-2+3-1=0.
  • Entrada (2,1): -2(0)+1+(-1)=0.
  • Entrada (2,2): -2(1)+4+(-2)=-2+4-2=0.
    Todas as entradas são zero, logo a combinação não-trivial realmente produz a matriz zero.]

Passo 7

Como encontramos coeficientes \alpha,\beta,\gamma não todos nulos tal que \alpha A+\beta B+\gamma C=0, isso mostra que o conjunto S admite uma combinação linear não-trivial que dá a matriz nula. Pelo que vimos na definição, isso significa que S é linearmente dependente.

Resposta

Linearmente dependente (LD)

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