Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço do espaço vetorial V. Se for, encontre uma base para cada subespaço. V=\mathbb{R}^{3} e W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 2 x+3 y-z=0\right\}
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{3} e o subconjunto
Portanto u+v satisfaz a equação e assim u+v\in W. Logo W é fechado sob soma.
Passo 5
Fechamento sob multiplicação por escalar. Tome u=(x,y,z)\in W e \lambda\in\mathbb{R}. Como 2x+3y-z=0, para \lambda u=(\lambda x,\lambda y,\lambda z) temos
Logo \lambda u\in W. Portanto W é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Conclusão sobre subespaço. Como W contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, W é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.
Observação alternativa (conceitual): W é o núcleo (kernel) da aplicação linear L:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} dada por L(x,y,z)=2x+3y-z. O núcleo de uma aplicação linear é sempre um subespaço. Isso confirma o resultado anterior.
Passo 7
Agora encontrar uma base para W. A equação 2x+3y-z=0 pode ser resolvida isolando z:
z=2x+3y.
Escrevendo um vetor genérico de W em função de x e y:
(x,y,z)=(x,y,2x+3y)=x(1,0,2)+y(0,1,3).
Assim todo vetor de W é combinação linear de (1,0,2) e (0,1,3), isto é,
W=\operatorname{span}\{(1,0,2),\,(0,1,3)\}.
Passo 8
Verificar independência linear das duas gera-dores para garantir que formam uma base. Suponha que existam \alpha,\beta\in\mathbb{R}\) tais que
\[\alpha(1,0,2)+\beta(0,1,3)=(0,0,0).
Das duas primeiras equações obtemos \alpha=0\] e \(\beta=0, que satisfazem a terceira; portanto os vetores são linearmente independentes. Como geram W e são independentes, formam uma base de W.
Além disso, isso mostra que \dim W=2 (um plano através da origem em \mathbb{R}^3).]
Resposta
W é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.\nUma base de W é \{(1,0,2),\,(0,1,3)\}.