Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço do espaço vetorial V. Se for, encontre uma base para cada subespaço.
V=\mathbb{R}^{3} e W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 2 x+3 y-z=0\right\}

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{3} e o subconjunto
W=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}: 2x+3y-z=0\right\}.
O que é pedido:
  • Verificar se W é um subespaço de V.
  • Se for subespaço, encontrar uma base para W.
Informações relevantes fornecidas:
  • A condição que define W é a equação linear homogênea 2x+3y-z=0.
  • Os vetores de V têm coordenadas (x,y,z) com x,y,z\in\mathbb{R}.

Passo 2

Condição básica para ser subespaço: verificar três propriedades (ou usar uma equivalência conveniente):
  1. W não é vazio (contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob soma: se u,v\in W então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in W.
Vou mostrar cada uma delas passo a passo.

Passo 3

Verificar que W contém o vetor zero. O vetor zero em \mathbb{R}^{3} é (0,0,0). Substituindo na equação:
2\cdot 0 + 3\cdot 0 - 0 = 0,
logo (0,0,0)\in W. Portanto W não é vazio.

Passo 4

Fechamento sob adição. Tome u=(x_1,y_1,z_1)\in W e v=(x_2,y_2,z_2)\in W. Pelas hipóteses,
2x_1+3y_1-z_1=0\quad\text{e}\quad 2x_2+3y_2-z_2=0.
Considere u+v=(x_1+x_2,\,y_1+y_2,\,z_1+z_2). Então
2(x_1+x_2)+3(y_1+y_2)-(z_1+z_2) = (2x_1+3y_1-z_1)+(2x_2+3y_2-z_2)=0+0=0.
Portanto u+v satisfaz a equação e assim u+v\in W. Logo W é fechado sob soma.

Passo 5

Fechamento sob multiplicação por escalar. Tome u=(x,y,z)\in W e \lambda\in\mathbb{R}. Como 2x+3y-z=0, para \lambda u=(\lambda x,\lambda y,\lambda z) temos
2(\lambda x)+3(\lambda y)-(\lambda z)=\lambda(2x+3y-z)=\lambda\cdot 0=0.
Logo \lambda u\in W. Portanto W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Conclusão sobre subespaço. Como W contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, W é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.
Observação alternativa (conceitual): W é o núcleo (kernel) da aplicação linear L:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} dada por L(x,y,z)=2x+3y-z. O núcleo de uma aplicação linear é sempre um subespaço. Isso confirma o resultado anterior.

Passo 7

Agora encontrar uma base para W. A equação 2x+3y-z=0 pode ser resolvida isolando z:
z=2x+3y.
Escrevendo um vetor genérico de W em função de x e y:
(x,y,z)=(x,y,2x+3y)=x(1,0,2)+y(0,1,3).
Assim todo vetor de W é combinação linear de (1,0,2) e (0,1,3), isto é,
W=\operatorname{span}\{(1,0,2),\,(0,1,3)\}.

Passo 8

Verificar independência linear das duas gera-dores para garantir que formam uma base. Suponha que existam \alpha,\beta\in\mathbb{R}\) tais que \[\alpha(1,0,2)+\beta(0,1,3)=(0,0,0).
Igualando coordenadas:
\begin{cases} \alpha = 0,\\[4pt] \beta = 0,\\[4pt] 2\alpha + 3\beta = 0. \end{cases}
Das duas primeiras equações obtemos \alpha=0\] e \(\beta=0, que satisfazem a terceira; portanto os vetores são linearmente independentes. Como geram W e são independentes, formam uma base de W.
Além disso, isso mostra que \dim W=2 (um plano através da origem em \mathbb{R}^3).]

Resposta

W é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.\nUma base de W é \{(1,0,2),\,(0,1,3)\}.

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