O que é pedido: discutir o sistema em função de k. Em outras palavras, determinar para quais valores de k o sistema tem solução única (no caso homogêneo: só a solução trivial), para quais valores tem infinitas soluções e, se houver, descrever essas soluções. As incógnitas são x,y,z e k é um parâmetro real.]
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): como é um sistema linear homogêneo A\mathbf{v}=\mathbf{0} com matriz de coeficientes A, uma maneira simples é calcular o determinante de A. Lembrete do conceito e por que usamos isso:
Se \det(A)\neq0 então A é invertível e a única solução do sistema homogêneo é a solução trivial \mathbf{v}=\mathbf{0}.
Se \det(A)=0 então A não é invertível e o sistema homogêneo tem infinitas soluções (existe um subespaço não trivial de soluções).
Agora escrevemos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante. A matriz é
Vamos calcular \det(A) por expansão (desenvolvimento por linha/coluna ou regra de Sarrus; aqui faço expansão por cofatores na primeira linha). Aplicando a fórmula:
que é satisfeita para todo z. Portanto z fica como parâmetro livre. Coloquemos z=t com t\in\mathbb{R}. Então
x=-t,\qquad y=0,\qquad z=t.
Em forma vetorial a família de soluções é
(x,y,z)=t(-1,0,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Isto mostra que o espaço de soluções é uma reta (subespaço unidimensional) gerada pelo vetor (-1,0,1).]
Passo 5
Resumo didático final (interpretação):
Para k\neq2 a matriz dos coeficientes é inversível e o sistema homogêneo só admite a solução trivial (0,0,0).
Para k=2 a matriz tem determinante zero e o sistema admite infinitas soluções; o espaço de soluções é uma reta unidimensional dada por \{t(-1,0,1)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Resposta
Para k\neq2: única solução (x,y,z)=(0,0,0).
Para k=2: infinitas soluções, (x,y,z)=t(-1,0,1) com t\in\mathbb{R}.