Questão 12. Discuta em função de k os seguintes sistemas lineares:
\left\{\begin{array}{l}2 x-5 y+2 z=0 \\\ x+y+z=0 \\\\ 2 x+0 y+k z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo com parâmetro k:
\left\{\begin{array}{l} 2x-5y+2z=0\\[4pt] x+y+z=0\\[4pt] 2x+0y+kz=0 \end{array}\right.
O que é pedido: discutir o sistema em função de k. Em outras palavras, determinar para quais valores de k o sistema tem solução única (no caso homogêneo: só a solução trivial), para quais valores tem infinitas soluções e, se houver, descrever essas soluções. As incógnitas são x,y,z e k é um parâmetro real.]

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): como é um sistema linear homogêneo A\mathbf{v}=\mathbf{0} com matriz de coeficientes A, uma maneira simples é calcular o determinante de A. Lembrete do conceito e por que usamos isso:
  • Se \det(A)\neq0 então A é invertível e a única solução do sistema homogêneo é a solução trivial \mathbf{v}=\mathbf{0}.
  • Se \det(A)=0 então A não é invertível e o sistema homogêneo tem infinitas soluções (existe um subespaço não trivial de soluções).
Agora escrevemos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante. A matriz é
A=\begin{pmatrix} 2 & -5 & 2\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 0 & k \end{pmatrix}.
Vamos calcular \det(A) por expansão (desenvolvimento por linha/coluna ou regra de Sarrus; aqui faço expansão por cofatores na primeira linha). Aplicando a fórmula:
\det(A)=2\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & k\end{pmatrix} -(-5)\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & k\end{pmatrix} +2\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix}.
Agora calculo cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & k\end{pmatrix}=1\cdot k-1\cdot 0=k,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & k\end{pmatrix}=1\cdot k-1\cdot 2=k-2,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix}=1\cdot 0-1\cdot 2=-2.
Substituindo:
\det(A)=2\cdot k +5\cdot (k-2) + 2\cdot(-2).
Agora simplifico:
\det(A)=2k +5k -10 -4 =7k-14 =7(k-2).]

Passo 3

Interpretação do determinante encontrada:
  • Se k\neq2 então \det(A)=7(k-2)\neq0. Pelo que foi explicado, a matriz A é invertível e o sistema homogêneo tem única solução, que é a solução trivial
x=0,\quad y=0,\quad z=0.
(Numa prova, basta explicar que A invertível implica \mathbf{v}=\mathbf{0} é a única solução.)

Passo 4

Caso k=2. Aqui \det(A)=0, então existem soluções não triviais. Vou resolver explicitamente o sistema para k=2 para encontrar o espaço de soluções.
Substituindo k=2 no sistema temos:
\left\{\begin{array}{l} 2x-5y+2z=0\\[4pt] x+y+z=0\\[4pt] 2x+2z=0 \end{array}\right.
Da terceira equação 2x+2z=0 obtemos
x+z=0\quad\Rightarrow\quad x=-z.
Substituo x=-z na segunda equação x+y+z=0:
(-z)+y+z=0\quad\Rightarrow\quad y=0.
Agora verifico a primeira equação com x=-z e y=0:
2(-z)-5\cdot 0 +2z = -2z +2z = 0,
que é satisfeita para todo z. Portanto z fica como parâmetro livre. Coloquemos z=t com t\in\mathbb{R}. Então
x=-t,\qquad y=0,\qquad z=t.
Em forma vetorial a família de soluções é
(x,y,z)=t(-1,0,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Isto mostra que o espaço de soluções é uma reta (subespaço unidimensional) gerada pelo vetor (-1,0,1).]

Passo 5

Resumo didático final (interpretação):
  • Para k\neq2 a matriz dos coeficientes é inversível e o sistema homogêneo só admite a solução trivial (0,0,0).
  • Para k=2 a matriz tem determinante zero e o sistema admite infinitas soluções; o espaço de soluções é uma reta unidimensional dada por \{t(-1,0,1)\mid t\in\mathbb{R}\}.

Resposta

Para k\neq2: única solução (x,y,z)=(0,0,0).
Para k=2: infinitas soluções, (x,y,z)=t(-1,0,1) com t\in\mathbb{R}.

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