Questão 13. Calcule o determinante das matrizes abaixo:
\left(\begin{array}{llll}1 & 3 & 2 & 0 \\\\ 3 & 1 & 0 & 2 \\\\ 2 & 3 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular o determinante da matriz de ordem 4
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\\\ 3 & 1 & 0 & 2 \\\\ 2 & 3 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Informações dadas (peguei todos os elementos da própria matriz acima):
  • Linha 1: \,1,3,2,0.
  • Linha 2: \,3,1,0,2.
  • Linha 3: \,2,3,0,1.
  • Linha 4: \,0,2,1,3.
O que é pedido: o valor numérico do determinante \det(A).

Passo 2

Escolha do método. Vou usar a decomposição em blocos 2\times2, porque a matriz já se organiza naturalmente em quatro blocos 2\times2 e o bloco superior esquerdo é invertível (determinante não nulo), o que permite usar a fórmula do determinante via complemento de Schur:
se
A=\begin{pmatrix}A_{11} & A_{12}\\[4pt] A_{21} & A_{22}\end{pmatrix},
com A_{11} invertível, então
\det(A)=\det(A_{11})\det\bigl(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}\bigr).
Vou aplicar essa fórmula. Isso evita expandir por cofatores de ordem 4 e fica mais organizado.
Defino os blocos 2\times2 extraídos da matriz A:
A_{11}=\begin{pmatrix}1&3\\[2pt]3&1\end{pmatrix},\quad A_{12}=\begin{pmatrix}2&0\\[2pt]0&2\end{pmatrix},\quad A_{21}=\begin{pmatrix}2&3\\[2pt]0&2\end{pmatrix},\quad A_{22}=\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&3\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular \det(A_{11}) e A_{11}^{-1}.
Determinante de uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a&b\\[2pt]c&d\end{pmatrix} é ad-bc. Aplicando:
\det(A_{11})=1\cdot1-3\cdot3=1-9=-8.
Como \det(A_{11})\neq0, A_{11} é invertível.
Fórmula da inversa de 2\times2: se D=\begin{pmatrix}a&b\\[2pt]c&d\end{pmatrix} e \det(D)\neq0, então
D^{-1}=\frac{1}{\det(D)}\begin{pmatrix}d&-b\\[2pt]-c&a\end{pmatrix}.
Aplicando a A_{11} (onde a=1,b=3,c=3,d=1):
A_{11}^{-1}=\frac{1}{-8}\begin{pmatrix}1&-3\\[2pt]-3&1\end{pmatrix}=-\frac{1}{8}\begin{pmatrix}1&-3\\[2pt]-3&1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular M:=A_{11}^{-1}A_{12}.
Primeiro multiplico a matriz inteira sem o fator -\tfrac{1}{8}:
\begin{pmatrix}1&-3\\[2pt]-3&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&0\\[2pt]0&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot2+(-3)\cdot0 & 1\cdot0+(-3)\cdot2\\[4pt] -3\cdot2+1\cdot0 & -3\cdot0+1\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -6\\[2pt]-6 & 2\end{pmatrix}.
Agora aplico o fator -\tfrac{1}{8}:
M=A_{11}^{-1}A_{12}=-\frac{1}{8}\begin{pmatrix}2&-6\\[2pt]-6&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{4} & \tfrac{3}{4}\\[4pt]\tfrac{3}{4} & -\tfrac{1}{4}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular Q:=A_{21}M.
Multiplico as 2\times2 matrizes:
A_{21}=\begin{pmatrix}2&3\\[2pt]0&2\end{pmatrix},\quad M=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{4} & \tfrac{3}{4}\\[4pt]\tfrac{3}{4} & -\tfrac{1}{4}\end{pmatrix}.
Produto:
Q=A_{21}M= \begin{pmatrix} 2\cdot\left(-\tfrac{1}{4}\right)+3\cdot\left(\tfrac{3}{4}\right) & 2\cdot\left(\tfrac{3}{4}\right)+3\cdot\left(-\tfrac{1}{4}\right)\\[6pt] 0\cdot\left(-\tfrac{1}{4}\right)+2\cdot\left(\tfrac{3}{4}\right) & 0\cdot\left(\tfrac{3}{4}\right)+2\cdot\left(-\tfrac{1}{4}\right) \end{pmatrix}.
Calculo entrada a entrada:
Q=\begin{pmatrix} -\tfrac{2}{4}+\tfrac{9}{4} & \tfrac{6}{4}-\tfrac{3}{4}\\[4pt] 0+\tfrac{6}{4} & 0-\tfrac{2}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{7}{4} & \tfrac{3}{4}\\[4pt]\tfrac{6}{4} & -\tfrac{2}{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{7}{4} & \tfrac{3}{4}\\[4pt]\tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular o complemento de Schur
S:=A_{22}-Q.
Lembrando A_{22}=\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&3\end{pmatrix}, então
S= \begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\tfrac{7}{4} & \tfrac{3}{4}\\[4pt]\tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-\tfrac{7}{4} & 1-\tfrac{3}{4}\\[4pt] 1-\tfrac{3}{2} & 3-(-\tfrac{1}{2}) \end{pmatrix}.
Calculo cada entrada:
S=\begin{pmatrix}-\tfrac{7}{4} & \tfrac{1}{4}\\[4pt]-\tfrac{1}{2} & \tfrac{7}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcular \det(S). Para 2\times2,
\det(S)=\left(-\tfrac{7}{4}\right)\left(\tfrac{7}{2}\right)-\left(\tfrac{1}{4}\right)\left(-\tfrac{1}{2}\right).
Computando:
\det(S)=-\tfrac{49}{8}-\left(-\tfrac{1}{8}\right)=-\tfrac{49}{8}+\tfrac{1}{8}=-\tfrac{48}{8}=-6.

Passo 8

Aplicar a fórmula do Passo 2:
\det(A)=\det(A_{11})\det(S).
Substituindo \det(A_{11})=-8 e \det(S)=-6:
\det(A)=(-8)\cdot(-6)=48.

Resposta

\\\ 48

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