- Considere os subespaços de
,
e
.
(a) Determine uma base para o subespaço
.
(b) Determine uma base e a dimensão de
.
(c)
é soma direta? Justifique.
(d)
?
(a) Determine uma base para o subespaço
(b) Determine uma base e a dimensão de
(c)
(d)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
O enunciado fornece três subespaços de
definidos por equações lineares sobre vetores : -
. -
. -
.
-
-
O enunciado pede:
(a) determinar uma base para;
(b) determinar uma base e a dimensão de;
(c) responder seé soma direta (ou seja, se ), justificando;
(d) responder se.
As equações dos subespaços são as informações relevantes que usarei para parametrizar cada subespaço e calcular bases, interseções e somas.
Passo 2
Parametrizar
.
As equações que definem são
As equações que definem
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
Logo em
temos
, enquanto
e
são livres. Podemos escolher
como parâmetros livres. Escrevendo o vetor em função desses parâmetros:
Portanto uma base de
é, por exemplo,
e
.
Passo 3
Parametrizar
e
.
Para
a equação é
Logo
são livres. Escrevendo em parâmetros
:
Uma base de
pode ser
e
.
Para
a equação é
Logo
são livres e
Uma base de
é, por exemplo,
e
.
Passo 4
Calcular
(parte (a)) resolvendo simultaneamente as restrições de
.
De
já temos as consequências
e
. Substitua isso nas equações de
e
:
-
A equação de
é . Como , resulta , ou seja . -
A equação de
é . Substituindo dá
Logo
. Então por
vem
.
Resumindo: na interseção
temos
ou seja os vetores têm a forma
Portanto
é o subespaço gerado por
. Uma base é
e a dimensão da interseção tripla é
.
Passo 5
Calcular
(parte (b)): dimensão e base.
Uma forma eficiente é usar a fórmula de dimensões para soma:
Primeiro calcule
. Use os parâmetros de
e imponha a equação de
.
Em
temos vetores da forma
. Impondo a equação de
,
, obtemos
Portanto em
vale
,
,
, enquanto
e
permanecem livres. Assim
logo
.
Aplicando a fórmula:
Como
tem dimensão
, conclui-se que
. Assim qualquer base de
é base de
. Para ser concreto, podemos exibir uma base formada por vetores oriundos das bases de
e
. Por exemplo, dos vetores que já encontramos, os cinco seguintes são linearmente independentes e geram toda a soma:
Portanto uma base de
é
e
.
(Obs.: como já mostrado,
, então também poderia ser dada a base canônica
, mas acima foi exibida uma base formada por vetores explicitamente nas bases de
e
.)
Passo 6
Verificar se
é soma direta (parte (c)).
Definição:
é soma direta se e somente se
.
Vamos calcular
. Em
já tínhamos
e
, e em
vale
. Usando
obtemos
, isto é
. Então vetores em
têm a forma
com parâmetros
. Assim
que tem dimensão
. Em particular a interseção não é apenas o vetor zero. Portanto
não é soma direta.
Uma maneira simples de ver isso é exibir um vetor não-nulo que pertence a ambos: por exemplo
pertence simultaneamente a
e a
.
Passo 7
Determinar se
(parte (d)).
Use novamente a fórmula das dimensões:
Substituindo valores já calculados:
Como o espaço ambiente tem dimensão
, conclui-se que
.
Resposta
(a)
(b) Uma base:
.
.
(c) Não.
(d) Sim.