1. Considere os subespaços de \mathbb{R}^{5}, W_{1}=\{(x, y, z, t, w) / x+z+w=0, x+w=0\}, W_{2}=\{(x, y, z, t, w) / y+z+t=0\} e W_{3}=\{(x, y, z, t, w) / 2 x+t+2 w=0\}.
    (a) Determine uma base para o subespaço W_{1} \cap W_{2} \cap W_{3}.
    (b) Determine uma base e a dimensão de W_{1}+W_{3}.
    (c) W_{1}+W_{2} é soma direta? Justifique.
    (d) W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{5} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O enunciado fornece três subespaços de \mathbb{R}^{5} definidos por equações lineares sobre vetores (x,y,z,t,w):
    • W_{1}=\{(x,y,z,t,w)\mid x+z+w=0,\; x+w=0\}.
    • W_{2}=\{(x,y,z,t,w)\mid y+z+t=0\}.
    • W_{3}=\{(x,y,z,t,w)\mid 2x+t+2w=0\}.
  • O enunciado pede:
    (a) determinar uma base para W_{1}\cap W_{2}\cap W_{3};
    (b) determinar uma base e a dimensão de W_{1}+W_{3};
    (c) responder se W_{1}+W_{2} é soma direta (ou seja, se W_{1}\cap W_{2}=\{0\}), justificando;
    (d) responder se W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{5}.
As equações dos subespaços são as informações relevantes que usarei para parametrizar cada subespaço e calcular bases, interseções e somas.

Passo 2

Parametrizar W_{1}.
As equações que definem W_{1} são
x+z+w=0,\qquad x+w=0.
Da segunda equação vem x=-w. Substituindo na primeira:
(-w)+z+w = z = 0.
Logo em W_{1} temos x=-w,\; z=0, enquanto y e t são livres. Podemos escolher y,t,w como parâmetros livres. Escrevendo o vetor em função desses parâmetros:
(x,y,z,t,w)=(-w,\; y,\; 0,\; t,\; w) = y\,(0,1,0,0,0) + t\,(0,0,0,1,0) + w\,(-1,0,0,0,1).
Portanto uma base de W_{1} é, por exemplo,
\{(0,1,0,0,0),\; (0,0,0,1,0),\; (-1,0,0,0,1)\},
e \dim W_{1}=3.

Passo 3

Parametrizar W_{2} e W_{3}.
Para W_{2} a equação é
y+z+t=0 \quad\Rightarrow\quad y=-z-t.
Logo x,z,t,w são livres. Escrevendo em parâmetros x,z,t,w:
(x,y,z,t,w)=\big(x,\,-z-t,\;z,\;t,\;w\big) = x\,(1,0,0,0,0) + z\,(0,-1,1,0,0) + t\,(0,-1,0,1,0) + w\,(0,0,0,0,1).
Uma base de W_{2} pode ser
\{(1,0,0,0,0),\; (0,-1,1,0,0),\; (0,-1,0,1,0),\; (0,0,0,0,1)\},
e \dim W_{2}=4.
Para W_{3} a equação é
2x+t+2w=0 \quad\Rightarrow\quad t=-2x-2w.
Logo x,y,z,w são livres e
(x,y,z,t,w)=\big(x,\;y,\;z,\;-2x-2w,\;w\big) = x\,(1,0,0,-2,0) + y\,(0,1,0,0,0) + z\,(0,0,1,0,0) + w\,(0,0,0,-2,1).
Uma base de W_{3} é, por exemplo,
\{(1,0,0,-2,0),\; (0,1,0,0,0),\; (0,0,1,0,0),\; (0,0,0,-2,1)\},
e \dim W_{3}=4.

Passo 4

Calcular W_{1}\cap W_{2}\cap W_{3} (parte (a)) resolvendo simultaneamente as restrições de W_{1},W_{2},W_{3}.
De W_{1} já temos as consequências x=-w e z=0. Substitua isso nas equações de W_{2} e W_{3}:
  • A equação de W_{2} é y+z+t=0. Como z=0, resulta y+t=0, ou seja y=-t.
  • A equação de W_{3} é 2x+t+2w=0. Substituindo x=-w
2(-w)+t+2w = t = 0.
Logo t=0. Então por y=-t vem y=0.
Resumindo: na interseção W_{1}\cap W_{2}\cap W_{3} temos
z=0,\quad t=0,\quad y=0,\quad x=-w,
ou seja os vetores têm a forma
(x,y,z,t,w)=(-w,0,0,0,w)=w\,(-1,0,0,0,1).
Portanto W_{1}\cap W_{2}\cap W_{3} é o subespaço gerado por (-1,0,0,0,1). Uma base é
\{(-1,0,0,0,1)\},
e a dimensão da interseção tripla é 1.

Passo 5

Calcular W_{1}+W_{3} (parte (b)): dimensão e base.
Uma forma eficiente é usar a fórmula de dimensões para soma:
\dim(U+V)=\dim U + \dim V - \dim(U\cap V).
Primeiro calcule W_{1}\cap W_{3}. Use os parâmetros de W_{1} e imponha a equação de W_{3}.
Em W_{1} temos vetores da forma (x,y,z,t,w)=(-w,y,0,t,w). Impondo a equação de W_{3}, 2x+t+2w=0, obtemos
2(-w)+t+2w = t = 0.
Portanto em W_{1}\cap W_{3} vale t=0, z=0, x=-w, enquanto y e w permanecem livres. Assim
W_{1}\cap W_{3}=\{(-w,y,0,0,w)\mid y,w\in\mathbb{R}\} = \operatorname{span}\{(0,1,0,0,0),\;(-1,0,0,0,1)\},
logo \dim(W_{1}\cap W_{3})=2.
Aplicando a fórmula:
\dim(W_{1}+W_{3})=\dim W_{1} + \dim W_{3} - \dim(W_{1}\cap W_{3}) = 3 + 4 - 2 = 5.
Como \mathbb{R}^{5} tem dimensão 5, conclui-se que W_{1}+W_{3}=\mathbb{R}^{5}. Assim qualquer base de \mathbb{R}^{5} é base de W_{1}+W_{3}. Para ser concreto, podemos exibir uma base formada por vetores oriundos das bases de W_{1} e W_{3}. Por exemplo, dos vetores que já encontramos, os cinco seguintes são linearmente independentes e geram toda a soma:
(0,1,0,0,0),\quad (0,0,0,1,0),\quad (-1,0,0,0,1),\quad (1,0,0,-2,0),\quad (0,0,1,0,0).
Portanto uma base de W_{1}+W_{3} é
\{(0,1,0,0,0),\; (0,0,0,1,0),\; (-1,0,0,0,1),\; (1,0,0,-2,0),\; (0,0,1,0,0)\},
e \dim(W_{1}+W_{3})=5.
(Obs.: como já mostrado, W_{1}+W_{3}=\mathbb{R}^{5}, então também poderia ser dada a base canônica \{e_{1},\dots,e_{5}\}, mas acima foi exibida uma base formada por vetores explicitamente nas bases de W_{1} e W_{3}.)

Passo 6

Verificar se W_{1}+W_{2} é soma direta (parte (c)).
Definição: W_{1}+W_{2} é soma direta se e somente se W_{1}\cap W_{2}=\{0\}.
Vamos calcular W_{1}\cap W_{2}. Em W_{1} já tínhamos x=-w e z=0, e em W_{2} vale y+z+t=0. Usando z=0 obtemos y+t=0, isto é y=-t. Então vetores em W_{1}\cap W_{2} têm a forma
(x,y,z,t,w)=(-w,\,-t,\;0,\;t,\;w),
com parâmetros t,w\in\mathbb{R}. Assim
W_{1}\cap W_{2}=\operatorname{span}\{(0,-1,0,1,0),\;(-1,0,0,0,1)\},
que tem dimensão 2. Em particular a interseção não é apenas o vetor zero. Portanto W_{1}+W_{2} não é soma direta.
Uma maneira simples de ver isso é exibir um vetor não-nulo que pertence a ambos: por exemplo (0,-1,0,1,0) pertence simultaneamente a W_{1} e a W_{2}.

Passo 7

Determinar se W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{5} (parte (d)).
Use novamente a fórmula das dimensões:
\dim(W_{1}+W_{2}) = \dim W_{1} + \dim W_{2} - \dim(W_{1}\cap W_{2}).
Substituindo valores já calculados:
\dim(W_{1}+W_{2}) = 3 + 4 - 2 = 5.
Como o espaço ambiente tem dimensão 5, conclui-se que W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{5}.

Resposta

(a) \{(-1,0,0,0,1)\}
(b) Uma base: \{(0,1,0,0,0),\; (0,0,0,1,0),\; (-1,0,0,0,1),\; (1,0,0,-2,0),\; (0,0,1,0,0)\}. \dim(W_{1}+W_{3})=5.
(c) Não.
(d) Sim.

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