Verifique em cada um dos itens abaixo se o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço vetorial V, considere sempre as operações usuais nos espaços.
V=\mathbb{R}^{4}, W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4}: x+y=4 \mathrm{e} z-t=0\right\}.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • V=\mathbb{R}^{4}.
  • W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}:\;x+y=4\\ \text{e}\\ z-t=0\}.
O que é pedido:
  • Verificar se W é um subespaço vetorial de V considerando as operações usuais.

Passo 2

Relembrando a definição (passo-a-passo, sem pressa): um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se e somente se as três propriedades seguintes forem satisfeitas:
  1. W não é vazio (na prática, costuma-se checar se o vetor nulo \mathbf{0} pertence a W).
  2. W é fechado sob adição: se \mathbf{u}\in W e \mathbf{v}\in W então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se \mathbf{u}\in W e c\in\mathbb{R} então c\mathbf{u}\in W.
Explicação rápida do porquê dessas condições:
  • O vetor nulo precisa estar em W porque todo subespaço contém o zero (é soma trivial e 0 vezes qualquer vetor).
  • Fechamento por adição e por escalar garante que combinações lineares de vetores de W permaneçam em W, que é a ideia de subespaço.

Passo 3

Teste do vetor zero. O vetor zero em \mathbb{R}^{4} é \mathbf{0}=(0,0,0,0).
Verificar as equações definidoras de W para \mathbf{0}:
x+y = 0+0 = 0 \neq 4.
Portanto \mathbf{0}\notin W.
Comentário didático: se o vetor zero não pertence a W, então já falhou a condição (1) e W não pode ser subespaço. Esse é o teste mais rápido e definitivo na maioria dos casos.

Passo 4

Para reforçar a intuição (mostrando também falha nas outras propriedades), faça um teste geral com adição. Tome dois vetores quaisquer em W:
Sejam \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1,t_1)\in W e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in W. Pelas restrições de W temos
x_1+y_1=4,\qquad z_1-t_1=0,
x_2+y_2=4,\qquad z_2-t_2=0.
Agora calcule \mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;t_1+t_2). Verifique a primeira condição:
(x_1+x_2)+(y_1+y_2) = (x_1+y_1)+(x_2+y_2) = 4+4 = 8 \neq 4.
Logo \mathbf{u}+\mathbf{v}\notin W em geral. Portanto W não é fechado por adição.

Passo 5

Teste de multiplicação por escalar (fechamento por escalares). Tome \mathbf{u}=(x,y,z,t)\in W então x+y=4 e z-t=0. Para c\in\mathbb{R} tem-se
c\mathbf{u}=(cx,cy,cz,ct).
Verificando a primeira equação para c\mathbf{u}:
(cx)+(cy)=c(x+y)=c\cdot 4.
Esse valor é igual a 4 somente se c=1. Para outro escalar, por exemplo c=2, obtém-se c(x+y)=8\neq4. Logo c\mathbf{u}\notin W em geral, isto é, W não é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Contraexemplo concreto (bem simples) para fixar na prova:
  • Escolha \mathbf{u}=(4,0,0,0). Verificar: 4+0=4 e 0-0=0, então \mathbf{u}\in W.
  • Multiplicando por 2: 2\mathbf{u}=(8,0,0,0). Agora 8+0=8\neq4, então 2\mathbf{u}\notin W.
  • Somando \mathbf{u}+\mathbf{u}=(8,0,0,0), o mesmo vetor, também não está em W.
Esses exemplos mostram explicitamente a violação do fechamento por adição e por escalares.

Passo 7

Conclusão final: como \mathbf{0}\notin W e também porque W não é fechado sob adição nem sob multiplicação por escalares, conclui-se que W não é subespaço vetorial de V.

Resposta

W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}.

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