Verifique em cada um dos itens abaixo se o subconjunto
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
, considere sempre as operações usuais nos espaços.
.
Passo 1
O enunciado nos dá:
-
. -
.
O que é pedido:
- Verificar se
é um subespaço vetorial de considerando as operações usuais.
Passo 2
Relembrando a definição (passo-a-passo, sem pressa): um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço vetorial se e somente se as três propriedades seguintes forem satisfeitas:
-
não é vazio (na prática, costuma-se checar se o vetor nulo pertence a ). -
é fechado sob adição: se e então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Explicação rápida do porquê dessas condições:
- O vetor nulo precisa estar em
porque todo subespaço contém o zero (é soma trivial e 0 vezes qualquer vetor). - Fechamento por adição e por escalar garante que combinações lineares de vetores de
permaneçam em , que é a ideia de subespaço.
Passo 3
Teste do vetor zero. O vetor zero em
é
.
Verificar as equações definidoras de
para
:
Portanto
.
Comentário didático: se o vetor zero não pertence a
, então já falhou a condição (1) e
não pode ser subespaço. Esse é o teste mais rápido e definitivo na maioria dos casos.
Passo 4
Para reforçar a intuição (mostrando também falha nas outras propriedades), faça um teste geral com adição. Tome dois vetores quaisquer em
:
Sejam
e
. Pelas restrições de
temos
Agora calcule
. Verifique a primeira condição:
Logo
em geral. Portanto
não é fechado por adição.
Passo 5
Teste de multiplicação por escalar (fechamento por escalares). Tome
então
e
. Para
tem-se
Verificando a primeira equação para
:
Esse valor é igual a
somente se
. Para outro escalar, por exemplo
, obtém-se
. Logo
em geral, isto é,
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Contraexemplo concreto (bem simples) para fixar na prova:
- Escolha
. Verificar: e , então . - Multiplicando por
: . Agora , então . - Somando
, o mesmo vetor, também não está em .
Esses exemplos mostram explicitamente a violação do fechamento por adição e por escalares.
Passo 7
Conclusão final: como
e também porque
não é fechado sob adição nem sob multiplicação por escalares, conclui-se que
não é subespaço vetorial de
.