Verifique que cada limite a seguir não existe, justificando sua resposta.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para verificar que o limite
não existe, justificando a resposta.
Informações dadas: a função é a razão , definida quando o denominador
. O ponto em que nos aproximamos é
. A missão é mostrar que não há um número único
tal que a expressão tenda a
quando
.
Informações dadas: a função é a razão
Passo 2
Conceito importante (explicadinho): para uma função de várias variáveis a existência do limite em um ponto significa que, não importa por qual caminho eu me aproxime daquele ponto, o valor da função tende ao mesmo número
. Uma técnica prática para provar que o limite NÃO existe é encontrar duas (ou mais) curvas/retas/sequências que chegam ao ponto e em cada uma a função tende a valores diferentes. Se eu achar dois caminhos com limites diferentes, pronto: o limite não existe.
Passo 3
Uma observação algébrica útil (e que facilita pensar nos “direções”): enquanto
podemos dividir numerador e denominador por
. Defina
Então, para
,
Interpretação: ao aproximar
ao longo de uma reta que passa pela origem do tipo
(ou seja, direção fixa
), os números
e
são constantes, e o valor da expressão tende ao número
ou seja, depende da direção
. Se diferentes direções dão valores diferentes, o limite não existe.
Passo 4
Escolha de um caminho (fácil): caminhar ao longo do eixo
, isto é
e
. Nessa direção temos
e
. Substituindo na forma anterior:
Mais diretamente, ao longo do caminho
com
,
portanto o limite ao longo desse caminho é
.
Passo 5
Escolha de outro caminho: caminhar pela reta
e
. Aqui
e
. Substituindo:
Ou, diretamente, para pontos
com
,
logo o limite ao longo dessa reta é
.
Passo 6
Conclusão lógica: encontramos duas direções (caminhos) que chegam ao ponto
e nas quais a função tende a valores distintos:
ao longo de
e
ao longo de
. Como os limites pelas duas trajetórias são diferentes, não existe um único número
que seja o limite da função quando
. Portanto o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.