Verifique que cada limite a seguir não existe, justificando sua resposta.
(a) \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0 \\ z \rightarrow 0}} \frac{4 x-y+2 z}{x+3 y-z}

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o limite
\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\\ y\rightarrow 0\\\ z\rightarrow 0}} \frac{4x-y+2z}{x+3y-z}
não existe, justificando a resposta.
Informações dadas: a função é a razão \dfrac{4x-y+2z}{x+3y-z}, definida quando o denominador \,x+3y-z\neq 0. O ponto em que nos aproximamos é (x,y,z)=(0,0,0). A missão é mostrar que não há um número único L tal que a expressão tenda a L quando (x,y,z)\to(0,0,0).

Passo 2

Conceito importante (explicadinho): para uma função de várias variáveis a existência do limite em um ponto significa que, não importa por qual caminho eu me aproxime daquele ponto, o valor da função tende ao mesmo número L. Uma técnica prática para provar que o limite NÃO existe é encontrar duas (ou mais) curvas/retas/sequências que chegam ao ponto e em cada uma a função tende a valores diferentes. Se eu achar dois caminhos com limites diferentes, pronto: o limite não existe.

Passo 3

Uma observação algébrica útil (e que facilita pensar nos “direções”): enquanto x\neq 0 podemos dividir numerador e denominador por x. Defina
u=\frac{y}{x},\qquad v=\frac{z}{x}.
Então, para x\neq0,
\frac{4x-y+2z}{x+3y-z}=\frac{4 - u + 2v}{1 + 3u - v}.
Interpretação: ao aproximar (x,y,z)\to(0,0,0) ao longo de uma reta que passa pela origem do tipo y=ux,\\ z=vx (ou seja, direção fixa (1,u,v)), os números u e v são constantes, e o valor da expressão tende ao número
\frac{4 - u + 2v}{1 + 3u - v},
ou seja, depende da direção (u,v). Se diferentes direções dão valores diferentes, o limite não existe.

Passo 4

Escolha de um caminho (fácil): caminhar ao longo do eixo x, isto é y=0 e z=0. Nessa direção temos u=0 e v=0. Substituindo na forma anterior:
\frac{4 - u + 2v}{1 + 3u - v}=\frac{4-0+2\cdot0}{1+3\cdot0-0}=\frac{4}{1}=4.
Mais diretamente, ao longo do caminho (x,0,0) com x\to0,
\frac{4x-0+2\cdot0}{x+3\cdot0-0}=\frac{4x}{x}=4\quad(\text{para }x\neq0),
portanto o limite ao longo desse caminho é \,4.

Passo 5

Escolha de outro caminho: caminhar pela reta y=x e z=0. Aqui u=1 e v=0. Substituindo:
\frac{4 - u + 2v}{1 + 3u - v}=\frac{4-1+2\cdot0}{1+3\cdot1-0}=\frac{3}{4}.
Ou, diretamente, para pontos (x,x,0) com x\to0,
\frac{4x-x+2\cdot0}{x+3x-0}=\frac{3x}{4x}=\frac{3}{4}\quad(\text{para }x\neq0),
logo o limite ao longo dessa reta é \,\dfrac{3}{4}.

Passo 6

Conclusão lógica: encontramos duas direções (caminhos) que chegam ao ponto (0,0,0) e nas quais a função tende a valores distintos: 4 ao longo de (x,0,0) e \dfrac{3}{4} ao longo de (x,x,0). Como os limites pelas duas trajetórias são diferentes, não existe um único número L que seja o limite da função quando (x,y,z)\to(0,0,0). Portanto o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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