Usando as propriedades de limite, calcule o valor de cada limite abaixo.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
o ponto de aproximação é
e a expressão interior da raiz cúbica é
. Note que no ponto dado
ou seja, a raiz cúbica avaliada exatamente no ponto tem argumento
.
Passo 2
Propriedades de limite que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Se
e existem, então
Isto é, o limite do produto é o produto dos limites — desde que os dois limites existam. Essa propriedade é um dos resultados básicos sobre limites e segue da definição
-
.
-
Funções polinomiais em
e são contínuas em todo ponto do plano. “Contínua” significa que o valor da função no ponto é igual ao limite quando nos aproximamos desse ponto; portanto podemos calcular o limite substituindo diretamente as coordenadas. -
A função
(a raiz cúbica de ) é contínua para todo . Uma forma rápida de ver isso: é a função inversa de , que é contínua e estritamente crescente; a inversa de uma função contínua estritamente monotônica também é contínua. Assim, composições que envolvem e uma função contínua também são contínuas.
Com essas ideias, podemos decompor o problema em limites mais simples.
Passo 3
Calcule
.
Como a projeção sobre a segunda coordenada é contínua, basta substituir:
Explicação didática: ao aproximar
de
, a coordenada
aproxima de
, logo o limite é
.
Passo 4
Calcule
.
Usando continuidade de polinômios em
e
, substituímos:
Explicação didática:
é contínuo em
e
é contínuo em
; somando-os obtemos uma função contínua, então o limite é o valor no ponto.
Passo 5
Agora aplicamos a continuidade da raiz cúbica
.
Como
é contínua em
e
, temos pela propriedade de composição de limites:
Explicação didática: compor uma função contínua com outra que tem limite dá o valor da função contínua aplicado ao limite.
Passo 6
Use a propriedade do produto de limites (Passo 2) com os resultados dos Passos 3 e 5.
Temos
Explicação didática: como ambos os limites parciais existem, o limite do produto é o produto dos limites; multiplicando
por
obtemos
.