Usando as propriedades de limite, calcule o valor de cada limite abaixo.
(d) \lim _{(x, y) \rightarrow(-2,4)} y \sqrt[3]{x^{3}+2 y}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(-2,4)} y\,\sqrt[3]{x^{3}+2y}.
Informações dadas:
f(x,y)=y\,\sqrt[3]{x^{3}+2y},
o ponto de aproximação é (-2,4) e a expressão interior da raiz cúbica é x^{3}+2y. Note que no ponto dado
(-2)^{3}+2\cdot 4 = -8+8=0,
ou seja, a raiz cúbica avaliada exatamente no ponto tem argumento 0.

Passo 2

Propriedades de limite que vamos usar (explicadas de forma simples):
  1. Se \lim_{(x,y)\to(a,b)} u(x,y)=L e \lim_{(x,y)\to(a,b)} v(x,y)=M existem, então
\lim_{(x,y)\to(a,b)} u(x,y)\,v(x,y)=L\cdot M.
Isto é, o limite do produto é o produto dos limites — desde que os dois limites existam. Essa propriedade é um dos resultados básicos sobre limites e segue da definição \varepsilon- \delta.
  1. Funções polinomiais em x e y são contínuas em todo ponto do plano. “Contínua” significa que o valor da função no ponto é igual ao limite quando nos aproximamos desse ponto; portanto podemos calcular o limite substituindo diretamente as coordenadas.
  2. A função g(t)=\sqrt[3]{t} (a raiz cúbica de t) é contínua para todo t\in\mathbb{R}. Uma forma rápida de ver isso: g é a função inversa de h(t)=t^{3}, que é contínua e estritamente crescente; a inversa de uma função contínua estritamente monotônica também é contínua. Assim, composições que envolvem g e uma função contínua também são contínuas.
Com essas ideias, podemos decompor o problema em limites mais simples.

Passo 3

Calcule \displaystyle \lim_{(x,y)\to(-2,4)} y.
Como a projeção sobre a segunda coordenada é contínua, basta substituir:
\lim_{(x,y)\to(-2,4)} y = 4.
Explicação didática: ao aproximar (x,y) de (-2,4), a coordenada y aproxima de 4, logo o limite é 4.

Passo 4

Calcule \displaystyle \lim_{(x,y)\to(-2,4)} \bigl(x^{3}+2y\bigr).
Usando continuidade de polinômios em x e y, substituímos:
\lim_{(x,y)\to(-2,4)} \bigl(x^{3}+2y\bigr) = (-2)^{3} + 2\cdot 4 = -8 + 8 = 0.
Explicação didática: x^{3} é contínuo em x e 2y é contínuo em y; somando-os obtemos uma função contínua, então o limite é o valor no ponto.

Passo 5

Agora aplicamos a continuidade da raiz cúbica g(t)=\sqrt[3]{t}.
Como g é contínua em t=0 e \displaystyle \lim_{(x,y)\to(-2,4)} \bigl(x^{3}+2y\bigr)=0, temos pela propriedade de composição de limites:
\lim_{(x,y)\to(-2,4)} \sqrt[3]{x^{3}+2y} = \sqrt[3]{\,\lim_{(x,y)\to(-2,4)} (x^{3}+2y)\,} = \sqrt[3]{0} = 0.
Explicação didática: compor uma função contínua com outra que tem limite dá o valor da função contínua aplicado ao limite.

Passo 6

Use a propriedade do produto de limites (Passo 2) com os resultados dos Passos 3 e 5.
Temos
\lim_{(x,y)\to(-2,4)} y\,\sqrt[3]{x^{3}+2y} = \Bigl(\lim_{(x,y)\to(-2,4)} y\Bigr)\cdot \Bigl(\lim_{(x,y)\to(-2,4)} \sqrt[3]{x^{3}+2y}\Bigr) = 4\cdot 0 = 0.
Explicação didática: como ambos os limites parciais existem, o limite do produto é o produto dos limites; multiplicando 4 por 0 obtemos 0.

Resposta

0

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