Verifique se cada matriz a seguir é inversível e, em caso afirmativo, determine a sua inversa, usando escalonamento.
(rrrr0 & 0 & 1 & 1 1 & 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & -1 0 & 2 & 0 & 3).

Passo 1

Temos
A= 0 & 0 & 1 & 1 1 & 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & -1 0 & 2 & 0 & 3 ,
queremos verificar se det(A)neq0 (logo A é invertível) e, em caso afirmativo, encontrar A^-1 por escalonamento de [Amid I].

Passo 2

Formamos a matriz aumentada e colocamos pivô em (1,1) trocando R1rightarrow R2 e em seguida anulamos o elemento em (3,1) por R3 R3 - R1. Obtemos
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & -2 & 0 & -1 & 1 & 0 0 & 2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Para pivô em (2,2) trocamos R2rightarrow R3 e anulamos o elemento em (4,2) por
R4 R4 - 2,R2
Fica
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & -2 & 0 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & 7 & 0 & 2 & -2 & 1 ]

Passo 4

Agora o pivô em (3,3) já vale 1. Anulamos os elementos em (2,3) e (4,3) por
R2 R2 - R3, R4 R4 + 2,R3
Isso gera
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & -3 & -1 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 9 & 2 & 2 & -2 & 1 ]

Passo 5

Finalmente, pivot em (4,4) é 9. Dividimos por 9 e eliminamos acima em (1,4), (2,4), (3,4):
R4 tfrac19R4, Ri Ri - (Ri)4,R4(i=1,2,3)
O resultado em forma reduzida é
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & -tfrac29 & tfrac79 & tfrac29 & -tfrac19 0 & 1 & 0 & 0 & -tfrac13 & -tfrac13 & tfrac13 & tfrac13 0 & 0 & 1 & 0 & tfrac79 & -tfrac29 & tfrac29 & -tfrac19 0 & 0 & 0 & 1 & tfrac29 & tfrac29 & -tfrac29 & tfrac19 ]

Passo 6

Os pivôs foram 1,1,1,9 e houve duas trocas de linhas, então
det(A)=(-1)^2cdot1cdot1cdot1cdot9=9neq0
Logo A é invertível e a matriz do lado direito acima é A^-1.

Resposta

A^-1= -tfrac29 & tfrac79 & tfrac29 & -tfrac19[6pt] -tfrac13 & -tfrac13 & tfrac13 & tfrac13[6pt] tfrac79 & -tfrac29 & tfrac29 & -tfrac19[6pt] tfrac29 & tfrac29 & -tfrac29 & tfrac19 ]

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