Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Se o sistema linear
possui mais de uma solução então
possui pelo menos uma solução.
(b) Se
é uma solução de
e
é uma solução de
então
é solução de
.
(c) Se
é matriz
, então
possui infinitas soluções.
(d) Se
é simétrica então
para toda matriz
16. Dada a matriz
, abaixo, encontre
tal que o sistema
não tenha solução. Indique um procedimento para encontrar tal
no caso geral de uma matrix
com número de posições pivôs menor que $m.
(a) Se o sistema linear
(b) Se
(c) Se
(d) Se
16. Dada a matriz
Passo 1
O enunciado pede para classificar cada afirmação sobre sistemas lineares como verdadeira ou falsa, dando prova ou contra-exemplo, e em seguida, na questão
, produzir um vetor
que torne o sistema
inconsistente quando o número de pivôs de
for menor que o número de linhas. Vamos usar conceitos de posto (rank), espaço solução do homogêneo e condição de consistência (teorema de Rouché-Capelli).
Passo 2
Item (a): “Se o sistema homogêneo
possui mais de uma solução então
possui pelo menos uma solução.”
Um sistema homogêneo tem mais de uma solução se e só se . Mas a existência de solução para exige que
pertença à coluna de
, ou seja . Se há vetores
fora da coluna de
, logo sem solução.
Contra-exemplo: seja
Um sistema homogêneo tem mais de uma solução se e só se . Mas a existência de solução para
Contra-exemplo: seja
Aqui
tem infinitas soluções, mas
é impossível (a primeira equação seria
).
Portanto (a) é FALSA.
Portanto (a) é FALSA.
Passo 3
Item (b): “Se
resolve
e
resolve
então
resolve
.”
Verificamos
Verificamos
em geral (a menos que
).
Contra-exemplo simples: tome qualquer ,
no núcleo e
solução de
não nulo; então
dá
.
Portanto (b) é FALSA.
Contra-exemplo simples: tome qualquer
Portanto (b) é FALSA.
Passo 4
Item (c): “Se
é
então
possui infinitas soluções.”
Pelo teorema do posto, . O número de variáveis é , logo a dimensão do núcleo é
Pelo teorema do posto, . O número de variáveis é
Logo sempre há variáveis livres e infinitas soluções não-triviais.
Portanto (c) é VERDADEIRA.
Portanto (c) é VERDADEIRA.
Passo 5
Item (d): “Se
é simétrica então
para toda matriz
.”
Apenas matrizes escalares múltiplas de identidade ou certas matrizes especiais comutam com tudo. Em geral simétricas não comutam com matrizes arbitrárias.
Contra-exemplo em :
Apenas matrizes escalares múltiplas de identidade ou certas matrizes especiais comutam com tudo. Em geral simétricas não comutam com matrizes arbitrárias.
Contra-exemplo em
Calcula-se
.
Portanto (d) é FALSA.
Portanto (d) é FALSA.
Passo 6
Questão
: “Dada a matriz
abaixo, encontre
tal que
não tenha solução. Indique um procedimento geral quando o número de pivôs de
for menor que
.”
Como a matriz não foi fornecida, não há como determinar um
específico.
Procedimento geral quando :
. Faça a forma escalonada de
.
. Identifique alguma linha
em que todos os coeficientes são zero (linha de zeros).
. Escolha o vetor
de modo que seu
-ésimo componente
.
Então, ao montar essa linha dará
, e o sistema fica inconsistente.
Como a matriz
Procedimento geral quando :
Então, ao montar
Resposta
(a) Falsa.
(b) Falsa.
(c) Verdadeira.
(d) Falsa.
Procedimento para questão : reduza
a escada, ache uma linha sem pivô e atribua a esse componente de
um valor não zero para forçar
.
(b) Falsa.
(c) Verdadeira.
(d) Falsa.
Procedimento para questão