Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Se o sistema linear A X=0 possui mais de uma solução então A X=B possui pelo menos uma solução.
(b) Se X1 é uma solução de A X=0 e Y1 é uma solução de A X=B então 2 X1+3 Y1 é solução de A X=B.
(c) Se A é matriz 4 times 7, então A X=0 possui infinitas soluções.
(d) Se An times n é simétrica então A B=B A para toda matriz Bn times n
16. Dada a matriz A, abaixo, encontre B tal que o sistema A X=B não tenha solução. Indique um procedimento para encontrar tal B no caso geral de uma matrix m times n com número de posições pivôs menor que $m.

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada afirmação sobre sistemas lineares como verdadeira ou falsa, dando prova ou contra-exemplo, e em seguida, na questão 16, produzir um vetor B que torne o sistema A X = B inconsistente quando o número de pivôs de A for menor que o número de linhas. Vamos usar conceitos de posto (rank), espaço solução do homogêneo e condição de consistência (teorema de Rouché-Capelli).

Passo 2

Item (a): “Se o sistema homogêneo possui mais de uma solução então possui pelo menos uma solução.”
Um sistema homogêneo tem mais de uma solução se e só se . Mas a existência de solução para exige que pertença à coluna de , ou seja . Se há vetores fora da coluna de , logo sem solução.
Contra-exemplo: seja
Aqui tem infinitas soluções, mas é impossível (a primeira equação seria ).
Portanto (a) é FALSA.

Passo 3

Item (b): “Se X1 resolve A X=0 e Y1 resolve A X=B então 2X1+3Y1 resolve A X=B.”
Verificamos
A(2X1+3Y1) =2AX1+3AY1 =2cdot0+3B =3Bneq B
em geral (a menos que B=0).
Contra-exemplo simples: tome qualquer A, X1neq0 no núcleo e Y1 solução de AX=B não nulo; então 2X1+3Y1 3B.
Portanto (b) é FALSA.

Passo 4

Item (c): “Se é então possui infinitas soluções.”
Pelo teorema do posto, . O número de variáveis é , logo a dimensão do núcleo é
Logo sempre há variáveis livres e infinitas soluções não-triviais.
Portanto (c) é VERDADEIRA.

Passo 5

Item (d): “Se Antimes n é simétrica então A B=B A para toda matriz Bntimes n.”
Apenas matrizes escalares múltiplas de identidade ou certas matrizes especiais comutam com tudo. Em geral simétricas não comutam com matrizes arbitrárias.
Contra-exemplo em n=2:
A=1&00&2, B=0&10&0
Calcula-se ABneq BA.
Portanto (d) é FALSA.

Passo 6

Questão : “Dada a matriz abaixo, encontre tal que não tenha solução. Indique um procedimento geral quando o número de pivôs de for menor que .”
Como a matriz não foi fornecida, não há como determinar um específico.
Procedimento geral quando :
. Faça a forma escalonada de .
. Identifique alguma linha em que todos os coeficientes são zero (linha de zeros).
. Escolha o vetor de modo que seu -ésimo componente .
Então, ao montar essa linha dará , e o sistema fica inconsistente.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Falsa.
(c) Verdadeira.
(d) Falsa.
Procedimento para questão 16: reduza A a escada, ache uma linha sem pivô e atribua a esse componente de B um valor não zero para forçar 0=bineq0.

Exercícios relacionados