Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Se o sistema linear possui mais de uma solução então possui pelo menos uma solução.
(b) Se é uma solução de e é uma solução de então é solução de .
(c) Se é matriz , então possui infinitas soluções.
(d) Se é simétrica então para toda matriz
16. Dada a matriz , abaixo, encontre tal que o sistema não tenha solução. Indique um procedimento para encontrar tal no caso geral de uma matrix com número de posições pivôs menor que . .
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar, em cada item, se uma afirmação sobre sistemas lineares ou matrizes é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, devemos provar; se for falsa, dar um contra-exemplo.
Em seguida, na parte 16, temos uma matriz A de tamanho 4times4 com posto menor que 4, e precisamos encontrar um vetor B tal que o sistema
A X = B
seja impossível. Também devemos indicar um procedimento geral para qualquer matriz mtimes n cujo número de pivôs (posto) seja menor que m.
Conteúdo envolvido: espaços nulo e coluna, teorema do posto, existência de soluções de sistemas lineares, propriedades de matrizes (simetria vs. comutatividade) e construção de vetores fora do espaço coluna.
Passo 2
Item (a): “Se o sistema homogêneo A X=0 possui mais de uma solução então A X=B possui pelo menos uma solução.”
Essa afirmação é falsa.
Contra-exemplo simples: seja
A = 0, XinR, B=1
Então A X=0cdot X=0 tem infinitas soluções (\emph{mais de uma solução}), mas A X=1 escreve 0cdot X=1, que não tem nenhuma solução. Logo a afirmação é falsa.
Passo 3
Item (b): “Se X1 é solução de A X=0 e Y1 é solução de A X=B então 2 X1+3 Y1 é solução de A X=B.”
Também é falsa. De fato,
A(2X1+3Y1) =2,A X1+3,A Y1 =2cdot0+3,B =3Bneq B
em geral (a menos que 3=1, o que não acontece).
Contra-exemplo concreto: tome qualquer Aneq0, X1neq0 em A X1=0 e Y1 em A Y1=B; então 2X1+3Y1 leva a 3B, não a B.
Passo 4
Item (c): “Se A é matriz 4times7, então A X=0 possui infinitas soluções.”
Isso é verdadeiro. Pelo teorema do posto, rank(A)<=min(4,7)=4.
Pela fórmula de dimensão do núcleo (dimker A =7-rank(A)), temos
dimker A ;=;7-rank(A);>=;7-4=3
Como a dimensão do espaço nulo é ao menos 1, o sistema homogêneo tem infinitas soluções.
Passo 5
Item (d): “Se Antimes n é simétrica então A B = B A para toda matriz Bntimes n.”
Isso é falso: matrizes simétricas não comutam com \emph{toda} B.
Contra-exemplo em n=2:
e vimos ao reduzirmos por linhas que rank(A)=3<4. Logo o espaço coluna de A é um subespaço próprio de R^4. Para que A X=B não tenha solução basta escolher BnotinIm(A).
Procedimento geral: 1. Calcular uma base de Im(A) (por eliminação de Gauss ou pivôs). 2. Encontrar um vetor não pertencente a esse subespaço (por exemplo, resolver y^T A=0 não trivial em y, de modo que y^T Bneq0).
Exemplo concreto: ao resolver A^T y=0 obtemos vetor não nulo
y=(0,6,1,-3)^T
em ker(A^T). Para que B não seja combinação linear das colunas de A, basta exigir
y^T Bneq0
Tomando, por exemplo,
B=0001,
vemos que y^T B=-3neq0, logo BnotinIm(A) e o sistema A X=B não tem solução.
Resposta
(a) Falsa. Contra-exemplo: A=(0), B=1.
(b) Falsa. Em geral A(2X1+3Y1)=3Bneq B.
(c) Verdadeira. dimker A=7-rank(A)>=3>0.
(d) Falsa. Exemplo smashA=1&00&2,,B=0&10&0. 16) Um possível B é ,(0,0,0,1)^T, pois não pertence à coluna de A.
Procedimento geral: encontrar y em ker(A^T) e escolher B com y^T Bneq0.