Encontre a equação, os elementos principais (focos, vértices, excentricidade, centro, eixos e assíntotas) e esboce o gráfico da hipérbole caracterizada por:
Vértices em A1(0,-2), A2(0,2), não corta o eixo x e tem assíntotas y= pm 2 x.

Passo 1

y=\pm2x.
]\rO conteúdo aqui é reconhecer que a hipérbole tem eixo transverse vertical (pois os vértices acompanham o eixo y) e usar a forma padrão\r y^2a^2-x^2b^2=1 \rpara determinar seus parâmetros.

Passo 2

2a=4\quad\Longrightarrow\quad a=2.
]

Passo 3

y=\pm\frac{a}{b},x.
]\rAqui sabemos que o coeficiente angular é 2. Logo,\r ab=2Longrightarrow b=a2=22=1

Passo 4

\frac{y2}{22}-\frac{x2}{12}=1
]
y^24-x^2=1

Passo 5

c2=a2+b2=22+1^2=4+1=5
]
c=raiz5 \r- Os focos estão em (0,pm c), ou seja, em\r (0,raiz5)e(0,-raiz5) \r- A excentricidade é\r e=ca=raiz52

Passo 6

y=\pm2x.
]

Resposta

y^24-x^2=1
Centro: (0,0).
Vértices: (0,2) e (0,-2).
Focos: (0,raiz5) e (0,-raiz5).
Excentricidade: e=raiz52.
Eixo real (transverse): eixo y, comprimento 4.
Eixo imaginário (conjugado): eixo x, semi‐comprimento 1.
Assíntotas: y=pm2x.
Esboço: ramos verticais aproximando‐se de y=2x e y=-2x.

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