Verifique se o conjunto A=x^2+x+1, x^2+2 x+3, x é uma base para o espaço P2 dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Justifique com argumentos matemáticos.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
A = ,x^2+x+1,;x^2+2x+3,;x
é uma base de P2, o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Para isso, vamos usar o fato de que dim P2=3 e mostrar que esses três polinômios são linearmente independentes (basta, então, que tenham posto 3).

Passo 2

Para testar independência linear, escrevemos uma combinação linear
c1(x^2+x+1)+c2(x^2+2x+3)+c3(x)=0
e igualamos coeficientes. Alternativamente, montamos a matriz cujas colunas são as coordenadas desses polinômios no “padrão” 1,x,x^2.

Passo 3

As coordenadas de cada polinômio são
x^2+x+1mapsto111, x^2+2x+3mapsto321, xmapsto010
Formamos a matriz
M = 1 & 3 & 0 1 & 2 & 1 1 & 1 & 0

Passo 4

Calculamos o determinante de M:
det(M) =1cdot2 & 11 & 0 -3cdot1 & 11 & 0 +0cdotl(cdotsr) =1cdot(2cdot0-1cdot1)-3cdot(1cdot0-1cdot1) =-1-3cdot(-1)=2neq0
Como det(M)neq0, as colunas são linearmente independentes.

Passo 5

Três vetores linearmente independentes em P2 (dimensão 3) formam uma base. Logo, A é base de P2.

Resposta

O conjunto A é uma base de P2, pois seus três polinômios são linearmente independentes (determinante igual a 2neq0).

Exercícios relacionados