Verifique que cada um dos seguintes limites é igual a zero. Sugestão. Mostre que o limite lim substackx x0 y y0|f(x, y)| é zero, mostrando que |f(x, y)| <=|g(x, y)| e que lim substackx x0 y y0|g(x, y)| = 0.
3. lim substackx 0 y 0 1-cos x yx y^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
Mostraremos que essa expressão vai a zero usando desigualdades e o Teorema do Confronto.

Passo 2

Recorde que, para todo tinR, vale a desigualdade
|1-cos t|<=t^22

Passo 3

Aplique a desigualdade com t=xy. Então
|1-cos(xy)|<=(xy)^22
Logo, tomando valor absoluto de f(x,y)=1-cos(xy)x,y^2, temos
l|1-cos(xy)x,y^2r| <= tfrac(xy)^22|x|,y^2 = |x|2
Defina
g(x,y)=|x|2,
assim |f(x,y)|<= g(x,y).

Passo 4

É imediato ver que

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto, como e , segue que

Resposta

O limite vale 0.

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