Calcule integralC F cdot d r=integrala^b F(sigma(t)) cdot sigma^prime(t) d t, onde F: C subset R^n longrightarrow R^n (função vetorial) e C uma curva, definida pela função sigma:[a, b] longrightarrow R^n.
Calcule integralC y dx+x^2 dy, onde C é a curva parametrizada por:
gamma(t)=(cos t, sen t), t in[0,2 pi].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha da forma diferencial
integralCy,dx + x^2,dy
ao longo da curva C parametrizada por
gamma(t)=(cos t,sin t), tin[0,2pi].
O conteúdo é integral de linha de P,dx+Q,dy: vamos parametrizar x(t), y(t), obter dx e dy e montar
integral0^2pil(y(t),x'(t)+x(t)^2,y'(t)r),dt.

Passo 2

Da parametrização x(t)=cos t, y(t)=sin t segue
dx = x'(t),dt = -sin t,dt,
dy = y'(t),dt = cos t,dt

Passo 3

Substituindo em
integralCy,dx + x^2,dy obtemos
integral0^2pil(sin tcdot(-sin t) + (cos t)^2cdotcos tr),dt = integral0^2pil(-sin^2t + cos^3tr),dt

Passo 4

Separemos em duas integrais:
integral0^2pi -sin^2t,dt e integral0^2picos^3t,dt
Usando sin^2t=1-cos(2t)2,
integral0^2pi -sin^2t,dt = -integral0^2pi1-cos(2t)2,dt = -l[t2-sin(2t)4r]0^2pi = -pi
Para integral0^2picos^3t,dt, escreva cos^3t=cos t,(1-sin^2t) e use u=sin t, du=cos t,dt. Como u volta ao mesmo valor no intervalo, a integral é zero:
integral0^2picos^3t,dt = 0

Passo 5

Somando as duas partes, a integral total vale
-pi + 0 = -pi

Resposta

-pi

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