Verifique que cada um dos seguintes limites é igual a zero. Sugestão. Mostre que o limite lim substackx x0 y y0|f(x, y)| é zero, mostrando que |f(x, y)| <=|g(x, y)| e que lim substackx x0 y y0|g(x, y)| = 0.
5. lim substackx 0 y 0 x y|x|+|y|.

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y)to(0,0)x,y|x|+|y|
e sugere usar o Teorema do Confronto (squeeze): mostramos que
gl|x,y|x|+|y|gr|<= g(x,y)
para alguma g que tende a zero quando (x,y)to(0,0).

Passo 2

Definimos
f(x,y)=x,y|x|+|y|,
então
|f(x,y)|=|x|,|y||x|+|y|
Note que max|x|,|y| é o maior entre |x| e |y|. Se |x|>=|y| então |x|+|y|>=|x| e
|f(x,y)|<=|x|,|y||x| = |y|<= max|x|,|y|
Se |y|>=|x| então |x|+|y|>=|y| e
|f(x,y)|<=|x|,|y||y| = |x|<= max|x|,|y|
Logo em qualquer caso
|f(x,y)|<= max|x|,|y|
Aqui escolhemos
g(x,y)=max|x|,|y|

Passo 3

Como max|x|,|y|to0 quando (x,y)to(0,0), pelas desigualdades do passo anterior e pelo Teorema do Confronto concluímos que
lim(x,y)to(0,0)|f(x,y)|=0
e, portanto,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Resposta

0

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