Verifique se cada sequência \left(a_{n}\right) é convergente e calcule o limite daquelas que forem.
a_{n}=\frac{(-1)^{n} e^{\operatorname{sen} n}}{n^{2}}$

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
a_{n} = \frac{(-1)^{n} e^{\sin n}}{n^{2}}
é convergente e, em caso afirmativo, calcular seu limite. O conteúdo que vamos usar inclui noções de limite de sequência, função seno como sequência limitada, crescimento de exponencial e o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).

Passo 2

Observamos que, para todo n,
\sin n está compreendido em [-1,1]. Como e^{x} é crescente, isso implica
e^{-1} \le e^{\sin n} \le e^{1}.

Passo 3

Da desigualdade anterior segue que, em valor absoluto,
\bigl|a_{n}\bigr| = \frac{\bigl|(-1)^{n} e^{\sin n}\bigr|}{n^{2}} = \frac{e^{\sin n}}{n^{2}} \le \frac{e}{n^{2}}.
Sabemos que \lim_{n\to\infty} \frac{e}{n^{2}} = 0. Pelo Teorema do Confronto, concluímos que
\lim_{n\to\infty} \bigl|a_{n}\bigr| = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty} a_{n} = 0.

Passo 4

Como o limite existe e é finito, a sequência \bigl(a_{n}\bigr) é convergente.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty} a_{n} = 0.

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