Calcule as integrais.
\int_{-3}^{1} \frac{d x}{(x+2)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{-3}^{1}\frac{dx}{(x+2)^{3}}.
Aqui usamos a regra de potência para encontrar um antiderivativo de (x+2)^{-3}.

Passo 2

Para integrar (x+2)^{-3}, aplicamos a fórmula
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C
com u=x+2 e n=-3. Assim,
\int (x+2)^{-3}\,dx =\frac{(x+2)^{-2}}{-2}+C =-\frac{1}{2(x+2)^{2}}+C.

Passo 3

Definindo
F(x)=-\frac{1}{2(x+2)^{2}},
avaliamos nos limites x=1 e x=-3:
F(1)=-\frac{1}{2\cdot(1+2)^{2}}=-\frac{1}{18},
F(-3)=-\frac{1}{2\cdot(-3+2)^{2}}=-\frac{1}{2}.

Passo 4

O valor da integral é
F(1)-F(-3) =-\frac{1}{18}-\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) =-\frac{1}{18}+\frac{1}{2} =\frac{-1+9}{18} =\frac{8}{18} =\frac{4}{9}.

Resposta

\tfrac{4}{9}

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