Calcule as integrais.
\int_{0}^{+\infty} x^{3} e^{-x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria \displaystyle \int_{0}^{+\infty} x^{3} e^{-x^{4}}\,dx.
Aqui vamos usar o método de substituição para transformar numa integral exponencial simples.

Passo 2

Fazemos a troca de variável \,t = x^{4}.
Dessa forma \,dt = 4\,x^{3}\,dx
e então \,x^{3}\,dx = \frac{dt}{4}.
Quando x vai de 0 a +\infty, t também vai de 0 a +\infty. Assim a integral fica
\int_{0}^{+\infty} x^{3} e^{-x^{4}}\,dx = \int_{0}^{+\infty} e^{-t}\,\frac{dt}{4} = \frac{1}{4}\int_{0}^{+\infty} e^{-t}\,dt

Passo 3

Sabemos que \displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-t}\,dt = 1.
Portanto a nossa integral é \displaystyle \frac{1}{4}\times 1 = \frac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

Exercícios relacionados