Verifique se cada uma das sequências an=senh n=e^n-e^-n2 a seguir são constantes, crescentes, decrescentes ou não são monótonas:

Passo 1

O exercício pede para classificar a monotonicidade da sequência definida por an=sinh n=e^n-e^-n2. O conteúdo aqui é sequência e monotonicidade, e vamos precisar usar propriedades de função crescente ou calcular a diferença entre termos consecutivos.

Passo 2

Vamos lembrar que a função f(x)=sinh x é estritamente crescente em todo R, pois sua derivada é f'(x)=cosh x>0 para todo x. Assim, se m então sinh m.

Passo 3

Como a sequência pega valores de f(x)=sinh x apenas em x=n inteiro, isso já basta para garantir que an=sinh n seja estritamente crescente. Para ficar ainda mais claro, podemos checar diretamente a diferença:

Passo 4

Calculamos an+1-an=sinh(n+1)-sinh n. Usando a definição, temos:
sinh(n+1)-sinh n=e^n+1-e^-(n+1)2-e^n-e^-n2=e^n(e-1)+e^-n(1-e^-1)2
Como e^n>0, e>1 e 1-e^-1>0, esse resultado é sempre positivo, confirmando o crescimento.

Passo 5

Portanto, a sequência an=sinh n é estritamente crescente em N.

Resposta

Estritamente crescente

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