Verifique se cada uma das sequências
a seguir são constantes, crescentes, decrescentes ou não são monótonas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a sequência $ a_{n} = \frac{1}{(3n - 1)(n + 3)} $ é constante, crescente, decrescente ou não é monótona. Isso está relacionado ao estudo da monotonicidade das sequências, que basicamente analisa se os termos estão sempre aumentando, sempre diminuindo ou se mudam de comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor como a sequência se comporta quando $ n $ aumenta. Olha só o denominador de $ a_n $: $ (3n - 1)(n + 3) $. À medida que $ n $ cresce, tanto $ 3n - 1 $ quanto $ n + 3 $ aumentam, então o produto deles também aumenta.
Como $ a_n $ é o inverso desse produto, se o denominador cresce, o valor de $ a_n $ vai diminuir. Então, intuitivamente, parece que a sequência está decrescendo.
Passo 3
Vamos formalizar isso calculando a diferença entre dois termos consecutivos: $ a_{n+1} - a_n $.
Primeiro, calculamos $ a_{n+1} $:
Agora, a diferença:
Para facilitar a comparação, vamos colocar essas frações com um denominador comum:
Vamos expandir o numerador:
Subtraindo:
Então:
O denominador é sempre positivo para $ n \geq 1 $, então o sinal da diferença depende apenas do numerador $ -6n - 11 $, que é sempre negativo. Isso significa que $ a_{n+1} - a_n < 0 $ para todo $ n \geq 1 $.
Resposta
A sequência $ a_{n} = \frac{1}{(3n - 1)(n + 3)} $ é decrescente para todo $ n $ natural.