Verifique se cada uma das sequências an=1(3 n-1)(n+3) a seguir são constantes, crescentes, decrescentes ou não são monótonas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a sequência $ a_{n} = \frac{1}{(3n - 1)(n + 3)} $ é constante, crescente, decrescente ou não é monótona. Isso está relacionado ao estudo da monotonicidade das sequências, que basicamente analisa se os termos estão sempre aumentando, sempre diminuindo ou se mudam de comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor como a sequência se comporta quando $ n $ aumenta. Olha só o denominador de $ a_n $: $ (3n - 1)(n + 3) $. À medida que $ n $ cresce, tanto $ 3n - 1 $ quanto $ n + 3 $ aumentam, então o produto deles também aumenta.
Como $ a_n $ é o inverso desse produto, se o denominador cresce, o valor de $ a_n $ vai diminuir. Então, intuitivamente, parece que a sequência está decrescendo.

Passo 3

Vamos formalizar isso calculando a diferença entre dois termos consecutivos: $ a_{n+1} - a_n $.
Primeiro, calculamos $ a_{n+1} $:
an+1 - an
Agora, a diferença:
an+1
Para facilitar a comparação, vamos colocar essas frações com um denominador comum:
an+1 = 1(3(n+1) - 1)(n+1 + 3) = 1(3n + 3 - 1)(n + 4) = 1(3n + 2)(n + 4)
Vamos expandir o numerador:
an+1 - an = 1(3n + 2)(n + 4) - 1(3n - 1)(n + 3)
an+1 - an = (3n - 1)(n + 3) - (3n + 2)(n + 4)(3n + 2)(n + 4)(3n - 1)(n + 3)
Subtraindo:
(3n - 1)(n + 3) = 3n^2 + 9n - n - 3 = 3n^2 + 8n - 3
Então:
(3n + 2)(n + 4) = 3n^2 + 12n + 2n + 8 = 3n^2 + 14n + 8
O denominador é sempre positivo para $ n \geq 1 $, então o sinal da diferença depende apenas do numerador $ -6n - 11 $, que é sempre negativo. Isso significa que $ a_{n+1} - a_n < 0 $ para todo $ n \geq 1 $.

Resposta

A sequência $ a_{n} = \frac{1}{(3n - 1)(n + 3)} $ é decrescente para todo $ n $ natural.

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