Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} 3^{n-1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty2^-n3^n-1
O conteúdo que vamos usar é o de séries geométricas (e, secundariamente, o teste da razão).

Passo 2

Vamos escrever o termo geral em forma de potência de razão constante. Note que
2^-n3^n-1 =3^-1,2^-n3^n =13l(32r)^n
Logo a série fica
sumn=1^infty2^-n3^n-1 =13sumn=1^inftyl(32r)^n

Passo 3

Reconhecemos sum (3/2)^n como série geométrica de razão
r=32
Uma série geométrica sum r^n converge somente se lvert rrvert<1. Aqui lvert rrvert=3/2>1, então essa parte já diverge.

Passo 4

Para reforçar, aplicamos o teste da razão: seja an=2^-n3^n-1. Então
limntoinftyl|an+1anr| =limntoinfty2^-(n+1)3^n2^-n3^n-1 =32>1
Como esse limite é maior que 1, o teste da razão também indica divergência.

Resposta

A série diverge.

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