Em um sistema cartesiano de coordenadas a reta y=x+b é tangente ao círculo de equação x^2+y^2=1. Determine o valor de b^2 :

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve geometria analítica. A questão nos diz que a reta $ y = x + b $ é tangente ao círculo de equação $ x^{2} + y^{2} = 1 $. Precisamos encontrar o valor de $ b^{2} $. Para isso, vamos usar conceitos de retas e círculos no plano cartesiano, especialmente a condição de tangência entre uma reta e um círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser tangente a um círculo. Uma reta é tangente a um círculo se ela toca o círculo em exatamente um ponto. Isso significa que o sistema formado pela equação da reta e a do círculo terá exatamente uma solução.

Passo 3

Vamos substituir a equação da reta na equação do círculo para encontrar esse ponto de tangência. A equação da reta é $ y = x + b $. Substituindo $ y $ por $ x + b $ na equação do círculo:
y = x + b

Passo 4

Agora, vamos simplificar a equação:
x^2 + (x + b)^2 = 1
Expanda o termo $ (x + b)^{2} $:
(x + b)^2
Somando os termos semelhantes:
x^2 + x^2 + 2b x + b^2 = 1

Passo 5

Essa é uma equação quadrática na forma $ ax^{2} + bx + c = 0 $, onde:
  • $ a = 2 $
  • $ b = 2b $
  • $ c = b^{2} - 1 $
Para que a reta seja tangente ao círculo, essa equação deve ter exatamente uma solução real, ou seja, o discriminante $ \Delta $ deve ser igual a zero.

Passo 6

O discriminante de uma equação quadrática é dado por:
De
Vamos calcular o discriminante:
De
Simplificando:
4b^2 - 8b^2 + 8 = -4b^2 + 8

Passo 7

Para que a reta seja tangente, o discriminante deve ser zero:
-4b^2 + 8 = 0
Resolvendo para $ b^{2} $:
b^2
-4b^2 = -8

Resposta

O valor de $ b^{2} $ é igual a $ 2 $.

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