Em um sistema cartesiano de coordenadas a reta
é tangente ao círculo de equação
. Determine o valor de
:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve geometria analítica. A questão nos diz que a reta $ y = x + b $ é tangente ao círculo de equação $ x^{2} + y^{2} = 1 $. Precisamos encontrar o valor de $ b^{2} $. Para isso, vamos usar conceitos de retas e círculos no plano cartesiano, especialmente a condição de tangência entre uma reta e um círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser tangente a um círculo. Uma reta é tangente a um círculo se ela toca o círculo em exatamente um ponto. Isso significa que o sistema formado pela equação da reta e a do círculo terá exatamente uma solução.
Passo 3
Vamos substituir a equação da reta na equação do círculo para encontrar esse ponto de tangência. A equação da reta é $ y = x + b $. Substituindo $ y $ por $ x + b $ na equação do círculo:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a equação:
Expanda o termo $ (x + b)^{2} $:
Somando os termos semelhantes:
Passo 5
Essa é uma equação quadrática na forma $ ax^{2} + bx + c = 0 $, onde:
- $ a = 2 $
- $ b = 2b $
- $ c = b^{2} - 1 $
Para que a reta seja tangente ao círculo, essa equação deve ter exatamente uma solução real, ou seja, o discriminante $ \Delta $ deve ser igual a zero.
Passo 6
O discriminante de uma equação quadrática é dado por:
Vamos calcular o discriminante:
Simplificando:
Passo 7
Para que a reta seja tangente, o discriminante deve ser zero:
Resolvendo para $ b^{2} $:
Resposta
O valor de $ b^{2} $ é igual a $ 2 $.