Verifique se cada solução a seguir é solução da equação diferencial dada:
a) y=e^-2 x é solução da equação diferencial y^prime+2 cdot y=0 ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função y= e^{-2x} é solução da equação diferencial de 1ª ordem linear homogênea y′+2y=0. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de y em relação a x e depois substituir na equação para ver se ela se anula.

Passo 2

Calcular a derivada de y. Como y(x)= e^{-2x}, temos
y' = ddxl(e^-2xr) = -2,e^-2x

Passo 3

Substituir y e y′ em y′+2y e simplificar:
y' + 2y = (-2,e^-2x) + 2,(e^-2x) = -2,e^-2x + 2,e^-2x = 0
Como o resultado é zero para todo x, concluímos que y= e^{-2x} satisfaz a equação diferencial.

Resposta

Sim. A função y = e^{-2x} é solução da equação diferencial y′ + 2y = 0.

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