Verifique se o campo
é conservativo. Nos casos afirmativos determine um potencial do qual ele deriva.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial de onde ele deriva. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar, ou seja,
. Isso implica que o campo não possui circulação, ou seja, a integral de linha do campo entre dois pontos independe do caminho escolhido.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, usamos um critério simples para campos bidimensionais: se
, então o campo é conservativo. Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 5
Agora, comparamos as duas derivadas:
Vemos que
em geral, a menos que algo seja igual, o que não ocorre aqui.
Passo 6
Como
, isso significa que o campo
não é conservativo.
Resposta
O campo
não é conservativo.