Verifique se o campo F é conservativo. Nos casos afirmativos determine um potencial do qual ele deriva. F=exp (x y) i+exp (x+y) j.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o campo vetorial F = e^xy i + e^x+y j é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial de onde ele deriva. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar, ou seja, F = nabla f. Isso implica que o campo não possui circulação, ou seja, a integral de linha do campo entre dois pontos independe do caminho escolhido.

Passo 3

Para verificar se F é conservativo, usamos um critério simples para campos bidimensionais: se partial F1partial y = partial F2partial x, então o campo é conservativo. Aqui, F1 = e^xy e F2 = e^x+y.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
  • partial F1partial y = partialpartial y e^xy = x e^xy
  • partial F2partial x = partialpartial x e^x+y = e^x+y

Passo 5

Agora, comparamos as duas derivadas:
  • partial F1partial y = x e^xy
  • partial F2partial x = e^x+y
Vemos que x e^xy neq e^x+y em geral, a menos que algo seja igual, o que não ocorre aqui.

Passo 6

Como partial F1partial y neq partial F2partial x, isso significa que o campo F não é conservativo.

Resposta

O campo F = e^xy i + e^x+y j não é conservativo.

Exercícios relacionados