Investigue as seguintes integrais impróprias.
integral-infty^+infty d x9+x^2

Passo 1

O enunciado pede para investigar a integral imprópria sobre todo o eixo real da função f(x)=1/(9+x^2). O conteúdo envolve integrais impróprias e o uso da primitiva de 1/(a^2+x^2), que se relaciona com a função arco-tangente.

Passo 2

Para lidar com a natureza imprópria, reescrevemos a integral como limite de integrais próprias:
integral-infty^+inftydx9+x^2=limAto-inftyatop Bto+inftyintegralA^Bdx9+x^2

Passo 3

Sabemos da teoria que
integraldxa^2+x^2=1aarctanl(xar)+C
Aqui a^2=9 então a=3. Logo,
integraldx9+x^2=13arctanl(x3r)+C

Passo 4

Agora avaliamos no limite:
limAto-inftyatop Bto+infty13l[arctanl(x3r)r]A^B =13l(limBto+inftyarctanB3-limAto-inftyarctanA3r)
Sabemos que arctan(+infty)=pi/2 e arctan(-infty)=-pi/2, então

Passo 5

concluímos que
integral-infty^+inftydx9+x^2=13l(pi2-(-pi2)r)=13cdotpi=pi3

Resposta

pi/3

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