Verifique se o campo (respectivamente a forma) é conservativo (respectivamente exata) e determine uma função potencial em caso afirmativo.
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
, com
e pede para verificar se é conservativo (ou seja, exato em
) e, se for, encontrar uma função potencial
. Para isso precisamos usar o critério
num domínio simplesmente conexo, e depois integrar.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Como coincidem em todo
(que é simplesmente conexo) e
são contínuos, o campo é conservativo.
Passo 3
Procuramos
tal que
Integramos em
:
onde
é uma função a determinar que depende só de
.
Passo 4
Para achar
, usamos
e igualamos a
. Assim,
e integrando em
obtemos
Passo 5
Substituindo em
, uma função potencial geral é
onde
é constante arbitrária.
Resposta
O campo é conservativo em
e a função potencial pode ser escolhida como