Verifique se o campo (respectivamente a forma) é conservativo (respectivamente exata) e determine uma função potencial em caso afirmativo.
F(x, y)=(y^2-3 x) i+(2 x y+cos y) j.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
vec F(x,y)=P(x,y),vec i + Q(x,y),vec j, com
P(x,y)=y^2-3x,
Q(x,y)=2xy+cos y,
e pede para verificar se é conservativo (ou seja, exato em R^2) e, se for, encontrar uma função potencial phi. Para isso precisamos usar o critério
partial Ppartial y ;=;partial Qpartial x
num domínio simplesmente conexo, e depois integrar.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y = 2y,
partial Qpartial x = 2y
Como coincidem em todo R^2 (que é simplesmente conexo) e P,Q são contínuos, o campo é conservativo.

Passo 3

Procuramos phi(x,y) tal que
partial phipartial x = P(x,y) = y^2 - 3x
Integramos em x:
phi(x,y) = integral (y^2 - 3x),dx = x,y^2 - 32x^2 + h(y),
onde h é uma função a determinar que depende só de y.

Passo 4

Para achar h(y), usamos
partial phipartial y = 2x,y + h'(y)
e igualamos a Q(x,y)=2xy+cos y. Assim,
h'(y)=cos y
e integrando em y obtemos
h(y)=sin y + C

Passo 5

Substituindo em phi, uma função potencial geral é
phi(x,y)=x,y^2 - 32x^2 + sin y + C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

O campo é conservativo em R^2 e a função potencial pode ser escolhida como
phi(x,y)=x,y^2 - 32x^2 + sin y + C

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