Verifique se o campo (respectivamente a forma) é conservativo (respectivamente exata) e determine uma função potencial em caso afirmativo.

Passo 1

O enunciado dá a forma diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy
com
M(x,y)=sin(xy)+xycos(xy), N(x,y)=x^2cos(xy)
e pede para verificar se é exata (ou seja, se o campo é conservativo) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial phi(x,y).

Passo 2

Para a exatidão precisamos conferir se
partial Mpartial y=partial Npartial x
Calculando
partial Mpartial y =partialpartial yl[sin(xy)r] +partialpartial yl[xycos(xy)r] =xcos(xy)+l(xcos(xy)-x^2ysin(xy)r) =2xcos(xy)-x^2ysin(xy),
e
partial Npartial x =partialpartial xl[x^2cos(xy)r] =2xcos(xy)-x^2ysin(xy)
Como são iguais, a forma é exata (o campo é conservativo) num domínio onde sin e cos são suaves (por exemplo R^2).

Passo 3

Buscamos phi(x,y) tal que
partial phipartial x =M(x,y)=sin(xy)+xycos(xy)
Integramos em x:
phi(x,y) =integrall[sin(xy)+xycos(xy)r],dx =integralsin(xy),dx+integral xycos(xy),dx
Usando u=xy, vem
integralsin(xy),dx=-cos(xy)y, integral xycos(xy),dx =1yl[xysin(xy)+cos(xy)r]
Somando e simplificando aparece
phi(x,y)=xsin(xy)+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), impomos
partial phipartial y =x^2cos(xy)=N(x,y)
Mas
partialpartial yl[xsin(xy)+h(y)r] =xcdot xcos(xy)+h'(y) =x^2cos(xy)+h'(y)
Logo h'(y)=0 e h(y) é constante.

Resposta

A forma é exata e uma função potencial é
boxedphi(x,y)=xsin(xy)+C,
com C constante.

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