Verifique se o campo (respectivamente a forma) é conservativo (respectivamente exata) e determine uma função potencial em caso afirmativo.
.
Passo 1
Temos a
-forma
em
. Queremos verificar se ela é exata (ou seja, se o campo vetorial
é conservativo) e, em caso afirmativo, determinar uma função potencial
tal que
. O critério será checar se
em
(domínio simplesmente conexo).
Passo 2
Calculemos o rotacional de
:
Vamos em cada componente:
primeira componente
.
segunda componente
.
terceira componente
.
Passo 3
Como
e o domínio é
(simplesmente conexo), concluímos que
é conservativo e
é exata. Logo existe
com
.
Passo 4
Para achar
, integramos a componente
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 5
Devemos ter
Isso dá
com
ainda a determinar.
Passo 6
Agora impomos
Logo
, isto é,
(constante).
Passo 7
Escolhendo
para simplificar, obtemos como potencial
Resposta
A forma é exata (o campo é conservativo) e uma função potencial é