Verifique se o campo (respectivamente a forma) é conservativo (respectivamente exata) e determine uma função potencial em caso afirmativo.
(x+z) d x-(y+z) d y+(x-y) d z.

Passo 1

Temos a 1-forma
omega = (x+z),dx ;-;(y+z),dy ;+;(x-y),dz
em R^3. Queremos verificar se ela é exata (ou seja, se o campo vetorial
F = l(P,Q,Rr) = l(x+z,,-(y+z),,x-yr)
é conservativo) e, em caso afirmativo, determinar uma função potencial phi tal que dphi=omega. O critério será checar se nablatimes F=0 em R^3 (domínio simplesmente conexo).

Passo 2

Calculemos o rotacional de F:
nablatimes F =l(,partial Rpartial y-partial Qpartial z,; partial Ppartial z-partial Rpartial x,; partial Qpartial x-partial Ppartial yr)
Vamos em cada componente:
partial Rpartial y=partial(x-y)partial y=-1, partial Qpartial z=partial[-(y+z)]partial z=-1 Rightarrow primeira componente = -1 -(-1)=0.
partial Ppartial z=partial(x+z)partial z=1, partial Rpartial x=partial(x-y)partial x=1 Rightarrow segunda componente = 1-1=0.
partial Qpartial x=0, partial Ppartial y=0 Rightarrow terceira componente = 0-0=0.

Passo 3

Como nablatimes F=(0,0,0) e o domínio é R^3 (simplesmente conexo), concluímos que F é conservativo e omega é exata. Logo existe phi com dphi=omega.

Passo 4

Para achar phi, integramos a componente P=x+z em relação a x:
phi(x,y,z)=integral(x+z),dx =x^22+xz+g(y,z),
onde g(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y,z.

Passo 5

Devemos ter
partialphipartial y =partial gpartial y stackrel!=-,(y+z)=Q
Isso dá
partial gpartial y=-(y+z) Longrightarrow g(y,z)=-y^22-yz+h(z),
com h(z) ainda a determinar.

Passo 6

Agora impomos
partialphipartial z =partialpartial zl(x^22+xz -y^22-yz + h(z)r) = x - y + h'(z) stackrel!=R = x - y
Logo h'(z)=0, isto é, h(z)=C (constante).

Passo 7

Escolhendo C=0 para simplificar, obtemos como potencial
phi(x,y,z) =x^22+xz-y^22-yz

Resposta

A forma é exata (o campo é conservativo) e uma função potencial é
phi(x,y,z) =x^22+xz-y^22-yz

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