Verifique se o campo (respectivamente a forma) é conservativo (respectivamente exata) e determine uma função potencial em caso afirmativo.
(2 x^2+8 x y^2) d x+(3 x^3 y-3 x y) d y-(4 y^2 z^2+2 x^3 z) d z.

Passo 1

Estamos no contexto de formas diferenciais em R^3. A forma dada é
omega = (2x^2 + 8xy^2),dx ;+;(3x^3y - 3xy),dy ;-;(4y^2z^2 + 2x^3z),dz
Queremos ver se omega é exata, isto é, se existe f(x,y,z) tal que df=omega. Num domínio simplesmente conexo (como R^3), exatidão equivale a fechadura: domega=0.

Passo 2

Chamemos
P(x,y,z)=2x^2+8xy^2, Q(x,y,z)=3x^3y-3xy, R(x,y,z)=-4y^2z^2-2x^3z
O critério de fechadura é
partial Ppartial y ;=;partial Qpartial x, partial Ppartial z ;=;partial Rpartial x, partial Qpartial z ;=;partial Rpartial y

Passo 3

Calculamos primeiro
partial Ppartial y =partialpartial y(2x^2)+partialpartial y(8xy^2) =0+16xy,
e
partial Qpartial x =partialpartial x(3x^3y-3xy) =9x^2y-3y =y,(9x^2-3)

Passo 4

Comparando
partial Ppartial y=16xy e partial Qpartial x=y,(9x^2-3),
vemos que não são iguais para todos (x,y). Logo domeganeq0, a forma não é fechada.

Passo 5

Como a forma não é fechada em R^3, ela também não é exata. Consequentemente o campo vetorial associado não é conservativo e não existe função potencial f.

Resposta

A forma não é exata, o campo não é conservativo e não há função potencial.

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