Verifique se o campo (respectivamente a forma) é conservativo (respectivamente exata) e determine uma função potencial em caso afirmativo.
3 y^4 z^2 d x+4 x^3 y^2 d y-3 x^2 y^2 d z.

Passo 1

O enunciado fornece a 1-forma em R^3
omega = 3,y^4z^2,dx ;+; 4,x^3y^2,dy ;-; 3,x^2y^2,dz
e pede para verificar se omega é exata (equivalente a testar se o campo F=(M,N,P) com
M=3,y^4z^2, N=4,x^3y^2, P=-3,x^2y^2
é conservativo) e, caso afirmativo, determinar a função potencial.

Passo 2

Para que omega seja exata num domínio simplesmente conectado (aqui todo R^3), é necessário e suficiente que
partial Mpartial y=partial Npartial x,
partial Mpartial z=partial Ppartial x e
partial Npartial z=partial Ppartial y.
Calculando as duas primeiras derivadas:
partial Mpartial y =partialpartial yl(3,y^4z^2r) =12,y^3z^2, partial Npartial x =partialpartial xl(4,x^3y^2r) =12,x^2y^2
Como 12,y^3z^2neq12,x^2y^2 em geral, a condição partial M/partial y=partial N/partial x falha.

Passo 3

Da falha dessa igualdade de derivadas parciais, concluímos que omega não é exata e o campo F não é conservativo. Logo não existe função potencial definida em todo o domínio.

Resposta

O campo não é conservativo e a forma não é exata; não há função potencial.

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