Verifique se o campo (respectivamente a forma) é conservativo (respectivamente exata) e determine uma função potencial em caso afirmativo.
.
Passo 1
O enunciado fornece a 1-forma em
e pede para verificar se
é exata (equivalente a testar se o campo
com
é conservativo) e, caso afirmativo, determinar a função potencial.
Passo 2
Para que
seja exata num domínio simplesmente conectado (aqui todo
), é necessário e suficiente que
,
e
.
Calculando as duas primeiras derivadas:
Calculando as duas primeiras derivadas:
Como
em geral, a condição
falha.
Passo 3
Da falha dessa igualdade de derivadas parciais, concluímos que
não é exata e o campo
não é conservativo. Logo não existe função potencial definida em todo o domínio.
Resposta
O campo não é conservativo e a forma não é exata; não há função potencial.