Verifique se o campo (respectivamente a forma) é conservativo (respectivamente exata) e determine uma função potencial em caso afirmativo.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a 1-forma
em
, e pede para verificar se é exata (equivalente a campo conservativo) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
. Vamos usar o critério de Poincaré em domínios simplesmente conectos:
é exata se e somente se as derivadas parciais satisfazem
onde
,
,
.
Passo 2
Calculemos
e
Logo
.
Passo 3
Calculemos
e
Logo
.
Passo 4
Calculemos
e
Logo
.
Passo 5
Como todas as igualdades de derivadas mistas conferem,
é exata em
. Agora procuramos
tal que
Integramos em
:
onde
é função arbitrária de
.
Passo 6
Para determinar
, usamos
Assim
onde
é função de
só.
Passo 7
Finalmente, para achar
, usamos
Logo
e
Portanto, tomamos a constante
(pode-se acrescentar constante geral depois).
Resposta
Uma função potencial é