Verifique se o campo (respectivamente a forma) é conservativo (respectivamente exata) e determine uma função potencial em caso afirmativo.
(y^2 cos x+z^3) d x-(4-2 y sen x) d y+(3 x z^2+2) d z.

Passo 1

O enunciado nos dá a 1-forma
omega = (y^2cos x + z^3),dx ;-;(4 - 2ysin x),dy ;+;(3xz^2+2),dz
em R^3, e pede para verificar se é exata (equivalente a campo conservativo) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f(x,y,z) tal que df=omega. Vamos usar o critério de Poincaré em domínios simplesmente conectos: omega é exata se e somente se as derivadas parciais satisfazem
partial Ppartial y = partial Qpartial x, partial Ppartial z = partial Rpartial x, partial Qpartial z = partial Rpartial y,
onde P=y^2cos x+z^3, Q=-4+2ysin x, R=3xz^2+2.

Passo 2

Calculemos
partial Ppartial y = partialpartial y(y^2cos x + z^3) = 2ycos x,
e
partial Qpartial x = partialpartial x(-4+2ysin x) = 2ycos x
Logo partial P/partial y = partial Q/partial x.

Passo 3

Calculemos
partial Ppartial z = partialpartial z(y^2cos x + z^3) = 3z^2,
e
partial Rpartial x = partialpartial x(3xz^2+2) = 3z^2
Logo partial P/partial z = partial R/partial x.

Passo 4

Calculemos
partial Qpartial z = partialpartial z(-4+2ysin x) = 0,
e
partial Rpartial y = partialpartial y(3xz^2+2) = 0
Logo partial Q/partial z = partial R/partial y.

Passo 5

Como todas as igualdades de derivadas mistas conferem, omega é exata em R^3. Agora procuramos f(x,y,z) tal que
partial fpartial x = P = y^2cos x + z^3
Integramos em x:
f(x,y,z) = integral (y^2cos x + z^3),dx = y^2sin x + x,z^3 + g(y,z),
onde g é função arbitrária de (y,z).

Passo 6

Para determinar g, usamos
partial fpartial y = 2ysin x + partial gpartial y ;stackrel!=; Q = -4 + 2ysin x
Assim
partial gpartial y = -4 Longrightarrow g(y,z) = -4y + h(z),
onde h é função de z só.

Passo 7

Finalmente, para achar h(z), usamos
partial fpartial z = partialpartial zl(y^2sin x + xz^3 -4y + h(z)r) = 3xz^2 + h'(z) ;stackrel!=; R = 3xz^2+2
Logo h'(z)=2 e
h(z)=2z + C
Portanto, tomamos a constante C=0 (pode-se acrescentar constante geral depois).

Resposta

Uma função potencial é
f(x,y,z) = y^2sin x ;+; x,z^3 ;-;4y ;+;2z

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