Verifique se o campo (respectivamente a forma) é conservativo (respectivamente exata) e determine uma função potencial em caso afirmativo.
(4 x y-3 x^2 z^2+1) d x+(2 x^2+2) d y-(2 x^3 z+3 z^2) d z.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o 1-forma
omega = (4xy - 3x^2z^2 + 1),dx + (2x^2 + 2),dy - (2x^3z + 3z^2),dz
é exata (equivalente a campo vetorial conservativo) em R^3 e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial phi(x,y,z). Vamos usar o critério de exatidão em R^3 e depois integrar para achar phi.

Passo 2

Em R^3 basta checar se
P = 4xy - 3x^2z^2 + 1, Q = 2x^2 + 2, R = -2x^3z - 3z^2
satisfazem
partial P/partial y = partial Q/partial x,
partial P/partial z = partial R/partial x e
partial Q/partial z = partial R/partial y.

Passo 3

Calculando as derivadas:
partial P/partial y = 4x e partial Q/partial x = 4x,
partial P/partial z = -6x^2z e partial R/partial x = -6x^2z,
partial Q/partial z = 0 e partial R/partial y = 0.
Como todas coincidem, omega é exata.

Passo 4

Para achar o potencial phi, integramos P em relação a x:
phi(x,y,z)=integral(4xy -3x^2z^2+1),dx =2x^2y - x^3z^2 + x + h(y,z),
onde h(y,z) é uma “constante” de integração em relação a x.

Passo 5

Impondo partialphi/partial y = Q:
partialpartial yl(2x^2y - x^3z^2 + x + h(y,z)r) =2x^2 + hy(y,z)stackrel!=2x^2+2 ;Longrightarrow; hy(y,z)=2 ;Longrightarrow; h(y,z)=2y + k(z)

Passo 6

Impondo partialphi/partial z = R:
partialpartial zl(2x^2y - x^3z^2 + x +2y + k(z)r) =-2x^3z + k'(z)stackrel!=-2x^3z -3z^2 ;Longrightarrow; k'(z)=-3z^2 ;Longrightarrow; k(z)=-z^3 + C

Passo 7

Substituindo em phi e tomando C=0:
phi(x,y,z) =2x^2y - x^3z^2 + x +2y - z^3

Resposta

A forma é exata (o campo é conservativo) em R^3 e uma função potencial é
phi(x,y,z)=2x^2y - x^3z^2 + x +2y - z^3

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