Verifique se o campo (respectivamente a forma) é conservativo (respectivamente exata) e determine uma função potencial em caso afirmativo.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o 1-forma
é exata (equivalente a campo vetorial conservativo) em
e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
. Vamos usar o critério de exatidão em
e depois integrar para achar
.
Passo 2
Em
basta checar se
satisfazem
,
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas:
e
,
e
,
e
.
Como todas coincidem, é exata.
Como todas coincidem,
Passo 4
Para achar o potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração em relação a
.
Passo 5
Impondo
:
Passo 6
Impondo
:
Passo 7
Substituindo em
e tomando
:
Resposta
A forma é exata (o campo é conservativo) em
e uma função potencial é