1. Seja a superfície S dada pelo pedaço do plano z=2 x+y que está acima do retângulo de vértices (0,0),(3,0),(3,2) e (0,2). Calcule:
    (a) ( 1,0 pts.) a área da superfície S;
    (b) (2,0 pts.) a integral de superfície \iint_{S} x y z d S.

Passo 1

O enunciado dá a superfície S como o gráfico de
z = f(x,y) = 2x + y
sobre o retângulo
R = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 3,\;0 \le y \le 2\}.
O que precisamos é:
– (a) a área de S, usando a fórmula de área de gráfico de função;
– (b) a integral de superfície \displaystyle \iint_{S} x\,y\,z\,dS, usando a fórmula \iint_{S} g(x,y,z)\,dS = \iint_{R} g(x,y,f(x,y))\,\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA.

Passo 2

Vamos achar as derivadas parciais de f:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}(2x+y) = 2, \qquad f_y = \frac{\partial}{\partial y}(2x+y) = 1.
Portanto o fator de correção da área é
\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} = \sqrt{1 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}.

Passo 3

A área de S é
\iint_{R} \sqrt{6}\,dA = \sqrt{6}\,\bigl(\text{área de }R\bigr) = \sqrt{6}\,(3 \times 2) = 6\sqrt{6}.á

Passo 4

Para a integral de superfície \displaystyle \iint_{S} x\,y\,z\,dS
substituímos z = 2x+y e usamos o mesmo fator (\sqrt{6}$:
\iint_{S} x\,y\,z\,dS = \iint_{R} x\,y\,(2x+y)\,\sqrt{6}\,dA = \sqrt{6} \int_{x=0}^{3}\!\!\int_{y=0}^{2} x\,y\,(2x+y)\,dy\,dx.)

Passo 5

Calculamos primeiro a integral em y:
\int_{0}^{2} x\,y\,(2x+y)\,dy = x\int_{0}^{2}\bigl(2x\,y + y^2\bigr)\,dy = x\Bigl[2x\cdot\frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3}\Bigr]_{0}^{2} = x\Bigl(2x\cdot2 + \frac{8}{3}\Bigr) = 4x^2 + \frac{8}{3}\,x.

Passo 6

Agora integramos em x e multiplicamos por \sqrt{6}:
\int_{0}^{3}\Bigl(4x^2 + \frac{8}{3}x\Bigr)\,dx = \Bigl[\tfrac{4x^3}{3} + \frac{8x^2}{6}\Bigr]_{0}^{3} = \frac{4\cdot27}{3} + \frac{8\cdot9}{6} = 36 + 12 = 48.
Logo
\iint_{S} x\,y\,z\,dS = \sqrt{6}\times 48 = 48\sqrt{6}.

Resposta

(a) 6\sqrt{6}.
(b) 48\sqrt{6}.

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