Seja o campo vetorial V(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2) para todo (x, y) neq(0,0) :
(a) calcule o rotacional de V(x, y);
(b) verifique se V(x, y) é conservativo.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
vec V(x,y) = l(-yx^2+y^2,,xx^2+y^2r)
definido para (x,y)neq(0,0). Pede-se:
(a) calcular o rotacional em duas dimensões, que é dado por
rot,vec V = partial V2partial x - partial V1partial y,
e (b) verificar se vec V é conservativo, isto é, se existe um potencial escalar phi tal que nablaphi=vec V.

Passo 2

Para calcular partial V2/partial x, note que
V2(x,y)=xx^2+y^2
Usando a regra do quociente l(f/gr)'=(f'g - fg')/g^2, com f(x)=x e g(x)=x^2+y^2, obtemos
partial V2partial x = 1cdot(x^2+y^2) - xcdot(2x)(x^2+y^2)^2 = x^2+y^2 - 2x^2(x^2+y^2)^2 = y^2 - x^2(x^2+y^2)^2

Passo 3

Para calcular partial V1/partial y, usamos
V1(x,y)=-yx^2+y^2
Novamente pela regra do quociente, com f(y)=-y e g(y)=x^2+y^2, temos
partial V1partial y = -1cdot(x^2+y^2) - ycdot(2y)(x^2+y^2)^2 = -x^2+y^2 - 2y^2(x^2+y^2)^2 = -x^2 - y^2(x^2+y^2)^2

Passo 4

Agora o rotacional é
rot,vec V = partial V2partial x - partial V1partial y = y^2 - x^2(x^2+y^2)^2 - l(-x^2 - y^2(x^2+y^2)^2r) = 0
para todo (x,y)neq(0,0).

Passo 5

Um campo com rot,vec V=0 numa região simplesmente conectada seria conservativo. Porém o domínio de vec V é R^2setminus(0,0), que não é simplesmente conectado. De fato, o integral de linha ao longo do círculo unitário
ointx^2+y^2=1vec Vcdot dvec r
2pineq0, mostrando que não existe potencial único global.

Resposta

(a) rot,vec V(x,y)=0 para todo (x,y)neq(0,0).
(b) vec V não é conservativo no domínio R^2setminus(0,0).

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