Seja o campo vetorial
para todo
:
(a) calcule o rotacional de
;
(b) verifique se
é conservativo.
(a) calcule o rotacional de
(b) verifique se
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
definido para
. Pede-se:
(a) calcular o rotacional em duas dimensões, que é dado por
(a) calcular o rotacional em duas dimensões, que é dado por
e (b) verificar se
é conservativo, isto é, se existe um potencial escalar
tal que
.
Passo 2
Para calcular
, note que
Usando a regra do quociente
, com
e
, obtemos
Passo 3
Para calcular
, usamos
Novamente pela regra do quociente, com
e
, temos
Passo 4
Agora o rotacional é
para todo
.
Passo 5
Um campo com
numa região simplesmente conectada seria conservativo. Porém o domínio de
é
, que não é simplesmente conectado. De fato, o integral de linha ao longo do círculo unitário
dá
, mostrando que não existe potencial único global.
Resposta
(a)
para todo
.
(b) não é conservativo no domínio
.
(b)