1. Convergente, com soma 1.
Procure determinar a e b, de modo que 2 n+1n^2(n+1)^2=an^2+b(n+1)^2.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o termo geral
2n+1n^2(n+1)^2
na forma de frações parciais
an^2+b(n+1)^2,
encontrando a e b. Depois vamos usar isso para mostrar que a série
sumn=1^infty2n+1n^2(n+1)^2
é telescópica e convergente com soma 1. O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais e soma de série telescópica.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados da identidade proposta por n^2(n+1)^2. Isso dá
2n+1 ;=; a,(n+1)^2 + b,n^2
Agora expandimos o lado direito:
a,(n+1)^2 + b,n^2 = a,(n^2+2n+1) + b,n^2 = (a+b),n^2 + 2a,n + a

Passo 3

Igualamos coeficientes de potências de n em
2n+1 = (a+b),n^2 + 2a,n + a
Coeficiente de n^2: 0 = a+b
Coeficiente de n: 2 = 2a
Termo constante: 1 = a
Daí a=1 e b=-a=-1.

Passo 4

Portanto a decomposição é
2n+1n^2(n+1)^2 = 1n^2 - 1(n+1)^2
Isso revela que a série é telescópica:
sumn=1^Nl(1n^2 - 1(n+1)^2r) = 1 - 1(N+1)^2,
pois todos os termos intermediários se cancelam.

Passo 5

Fazendo Ntoinfty, o resto 1(N+1)^2 tende a zero. Logo
sumn=1^infty2n+1n^2(n+1)^2 = limNtoinftyl(1 - 1(N+1)^2r) = 1

Resposta

a = 1, b = -1 e a série converge com soma 1.

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