Verifique se os campos vetoriais são conservativos e, em caso afirmativo, encontre
tal que
.
Passo 1
Então, a gente vai verificar se esse campo vetorial
é conservativo. Se for, vamos achar uma função
tal que
. Pra isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar potenciais para ele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se ele não tem “giro”, ou seja, se o seu rotacional é zero. Matemáticamente, isso significa que
. Então, vamos calcular o rotacional de
.
Passo 3
O rotacional de
é dado por:
Vamos calcular cada componente.
Passo 4
Calculando a primeira componente:
Então,
Passo 5
Calculando a segunda componente:
Assim,
Passo 6
Calculando a terceira componente:
Portanto,
Passo 7
Como todas as componentes do rotacional são zero, temos que
. Portanto, o campo vetorial
é conservativo.
Passo 8
Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar essa expressão em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende de
e
.
Passo 9
Agora, vamos usar a segunda componente do gradiente para encontrar
. Sabemos que:
E da nossa expressão para
:
Igualando as duas expressões:
Simplificando:
Passo 10
Vamos integrar
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 11
Finalmente, usamos a terceira componente do gradiente para determinar
:
E de
:
Igualando:
Isso implica que
, então
é constante.
Resposta
A função potencial é
onde
é uma constante qualquer.