Verifique se os campos vetoriais são conservativos e, em caso afirmativo, encontre f tal que nabla f=F.
F(x, y, z)=(y e^x y-2 y z, x e^x y+e^z cos y-2 x z, e^z sin y-2 x y)

Passo 1

Então, a gente vai verificar se esse campo vetorial F(x, y, z) = (y e^xy - 2 y z,, x e^xy + e^z cos y - 2 x z,, e^z sin y - 2 x y) é conservativo. Se for, vamos achar uma função f tal que nabla f = F . Pra isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar potenciais para ele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se ele não tem “giro”, ou seja, se o seu rotacional é zero. Matemáticamente, isso significa que nabla times F = 0 . Então, vamos calcular o rotacional de F .

Passo 3

O rotacional de F é dado por:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z,, partial F1partial z - partial F3partial x,, partial F2partial x - partial F1partial y )
Vamos calcular cada componente.

Passo 4

Calculando a primeira componente:
partial F3partial y = e^z cos y - 2x
partial F2partial z = e^z cos y - 2x
Então,
partial F3partial y - partial F2partial z = 0

Passo 5

Calculando a segunda componente:
partial F1partial z = -2y
partial F3partial x = -2y
Assim,
partial F1partial z - partial F3partial x = 0

Passo 6

Calculando a terceira componente:
partial F2partial x = e^xy(1 + xy) - 2z
partial F1partial y = e^xy(1 + xy) - 2z
Portanto,
partial F2partial x - partial F1partial y = 0

Passo 7

Como todas as componentes do rotacional são zero, temos que nabla times F = 0 . Portanto, o campo vetorial F é conservativo.

Passo 8

Agora, vamos encontrar a função potencial f tal que nabla f = F . Isso significa que:
partial fpartial x = y e^xy - 2y z
Vamos integrar essa expressão em relação a x :
f = integral (y e^xy - 2y z) , dx = e^xy - 2x y z + g(y, z)
Aqui, g(y, z) é uma função que depende de y e z .

Passo 9

Agora, vamos usar a segunda componente do gradiente para encontrar g(y, z) . Sabemos que:
partial fpartial y = x e^xy + e^z cos y - 2x z
E da nossa expressão para f :
partial fpartial y = e^xy cdot x - 2x z + partial gpartial y
Igualando as duas expressões:
e^xy cdot x - 2x z + partial gpartial y = x e^xy + e^z cos y - 2x z
Simplificando:
partial gpartial y = e^z cos y

Passo 10

Vamos integrar partial gpartial y = e^z cos y em relação a y :
g(y, z) = e^z sin y + h(z)
Onde h(z) é uma função que depende apenas de z .

Passo 11

Finalmente, usamos a terceira componente do gradiente para determinar h(z) :
partial fpartial z = e^z sin y - 2x y
E de f :
partial fpartial z = -2x y + e^z sin y + h'(z)
Igualando:
-2x y + e^z sin y + h'(z) = e^z sin y - 2x y
Isso implica que h'(z) = 0 , então h(z) é constante.

Resposta

A função potencial é
f(x, y, z) = e^xy - 2x y z + e^z sin y + C
onde C é uma constante qualquer.

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