Verifique que fx y=fy x no caso abaixo.
f(x, y)=x^20+x y^10

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x^20+x,y^10. O objetivo é mostrar que as derivadas parciais mistas partial^2 fpartial ypartial x e partial^2 fpartial xpartial y coincidem. Vamos usar regras básicas de derivação de potência e produto para isso.

Passo 2

Começando por derivar em relação a x:
partial fpartial x=partialpartial x(x^20)+partialpartial x(x,y^10)=20x^19+y^10
Em seguida, derivamos esse resultado em relação a y:
partial^2 fpartial ypartial x=partialpartial y(20x^19+y^10)=10y^9

Passo 3

Agora derivamos f em relação a y:
partial fpartial y=partialpartial y(x^20)+partialpartial y(x,y^10)=0+10x,y^9=10x,y^9
Depois, derivamos esse resultado em relação a x:
partial^2 fpartial xpartial y=partialpartial x(10x,y^9)=10y^9

Passo 4

Observamos que em ambos os cálculos o valor da derivada mista é 10y^9, ou seja, partial^2 fpartial ypartial x=partial^2 fpartial xpartial y, conforme o teorema de Schwarz para funções com derivadas contínuas.

Resposta

As derivadas mistas coincidem e valem 10y^9.

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