Determine as derivadas parciais de f de ordem 1 em todos os pontos do domínio no caso abaixo.
f(x, y, z)=e^x y ln (y)+cos (z^2)

Passo 1

O exercício pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x,y,z)=e^xyln(y)+cos(z^2) em todo ponto do domínio, sabendo que o termo ln(y) exige y>0. Vamos usar as definições de derivada parcial, regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, tratamos y e z como constantes. Só o termo e^xyln(y) depende de x. Aplicando a derivada de e^xy em relação a x:
partialpartial xl(e^xyln(y)r) =ln(y)cdotpartialpartial xe^xy =ln(y)cdot y,e^xy

Passo 3

Para partial fpartial y, usamos regra do produto em e^xyln(y). Primeiro derivamos e^xy mantendo ln(y) fixo, depois derivamos ln(y) mantendo e^xy fixo:
partialpartial yl(e^xyln(y)r) = x,e^xyln(y) + e^xycdot1y

Passo 4

Para partial fpartial z, só cos(z^2) varia com z. Usando regra da cadeia para cos(u) com u=z^2:
partialpartial zcos(z^2) = -sin(z^2)cdot 2z = -2zsin(z^2)

Resposta

As derivadas parciais são:
fx(x,y,z)=y,e^xyln(y),
fy(x,y,z)=x,e^xyln(y)+e^xyy,
fz(x,y,z)=-2zsin(z^2),
para todo xinR, y>0 e zinR.

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