Verifique que fx y=fy x no caso abaixo.
f(x, y)=ln (2 x+3 y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar que fxy = fyx para a função . O conteúdo envolvido é o cálculo de derivadas parciais de segunda ordem e o teorema de Clairaut, que afirma a igualdade das derivadas mistas se elas são contínuas.

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada parcial em relação a x:
A derivada de ln(u) é u'/u. Aqui u=2x+3y, então
fx=∂∂xln(2x+3y)=22x+3y
Agora derivamos fx em relação a y:
fxy=∂∂yl(22x+3yr)=2·(-1)·(2x+3y)^-2·3=-6(2x+3y)^2

Passo 3

Calculamos agora a derivada parcial em relação a y:
fy=∂∂yln(2x+3y)=32x+3y
Em seguida derivamos fy em relação a x:
fyx=∂∂xl(32x+3yr)=3·(-1)·(2x+3y)^-2·2=-6(2x+3y)^2

Passo 4

Comparando as duas derivadas mistas, vemos que ambas são iguais. Portanto, para esta função, vale fxy=fyx, conforme esperado pelo teorema de Clairaut.

Resposta

f_{xy} = f_{yx} = -\dfrac{6}{(2x+3y)^2}

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