Verifique que o conjunto dado é linearmente dependente.
A_{1}=\left[\begin{array}{cc}-3 & 4 \\\ 2 & 0\end{array}\right], A_{2}=\left[\begin{array}{cc}3 & -4 \\\ -2 & 0\end{array}\right] no espaço das matrizes reais 2 \times 2 com as operações usuais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto \{A_{1},A_{2}\} em M_{2\times2}(\mathbb{R}) é linearmente dependente. Vamos usar a definição de dependência linear: um conjunto de vetores (ou matrizes) é dependente se existir uma combinação linear não trivial que dê a matriz zero.

Passo 2

Definição de dependência linear: existem escalares c_{1},c_{2}, não ambos zero, tais que
c_{1}A_{1} + c_{2}A_{2} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Observamos que
A_{1} = \begin{pmatrix}-3 & 4 \\\\ 2 & 0\end{pmatrix}, \quad A_{2} = \begin{pmatrix}3 & -4 \\\\ -2 & 0\end{pmatrix} = -1\cdot A_{1}.
Logo, basta escolher c_{1}=1 e c_{2}=1 para obter
1\cdot A_{1} + 1\cdot A_{2} = A_{1} + A_{2} = \begin{pmatrix}-3+3 & 4-4 \\\\ 2-2 & 0+0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Como encontramos escalares não triviais ( c_{1}=1, c_{2}=1) que anulam a combinação linear, o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto \{A_{1},A_{2}\} é linearmente dependente, pois A_{1} + A_{2} = 0.

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