Verifique que o conjunto dado é linearmente dependente.
u_{1}=(3,-1), u_{2}=(4,5), u_{3}=(-4,7) no espaço de vetores reais de 2 coordenadas com as operações usuais.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o conjunto \{u_{1},u_{2},u_{3}\}\subset \mathbb{R}^{2}, com
u_{1} = (3,-1),\quad u_{2} = (4,5),\quad u_{3} = (-4,7),
é linearmente dependente. O conteúdo aqui é combinação linear em \mathbb{R}^{2} e a definição de dependência linear: existe uma combinação não-trivial que dá o vetor zero.

Passo 2

Escrevemos uma combinação linear genérica que deve ser igual a zero:
\alpha_{1}u_{1} + \alpha_{2}u_{2} + \alpha_{3}u_{3} = (0,0),
onde nem todos os \alpha_{i} são zero.

Passo 3

Expandindo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
\begin{cases} 3\alpha_{1} + 4\alpha_{2} - 4\alpha_{3} = 0,\\\\ -\,\alpha_{1} + 5\alpha_{2} + 7\alpha_{3} = 0. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo em função de \alpha_{3}:
Da primeira equação
3\alpha_{1} = 4\alpha_{3} - 4\alpha_{2} \quad\Longrightarrow\quad \alpha_{1} = \frac{4\alpha_{3} - 4\alpha_{2}}{3}.
Substituindo na segunda:
-\,\frac{4\alpha_{3} - 4\alpha_{2}}{3} + 5\alpha_{2} + 7\alpha_{3} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 19\alpha_{2} + 17\alpha_{3} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha_{2} = -\frac{17}{19}\,\alpha_{3}.
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\alpha_{1} = \frac{4\alpha_{3} - 4\bigl(-\tfrac{17}{19}\alpha_{3}\bigr)}{3} = \frac{144}{57}\,\alpha_{3} = \frac{48}{19}\,\alpha_{3}.

Passo 5

Para obter uma solução inteira não-trivial, escolhemos \alpha_{3}=19. Então
\alpha_{1} = 48,\quad \alpha_{2} = -17,\quad \alpha_{3} = 19,
e verificamos
48\,u_{1} \;-\;17\,u_{2} \;+\;19\,u_{3} = (0,0).
Como encontramos coeficientes não todos nulos, o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente, pois
48\,u_{1} \;-\;17\,u_{2} \;+\;19\,u_{3} = (0,0)
é uma combinação não-trivial que dá o vetor zero.

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