Determine quais das matrizes abaixo são combinação linear de
A=\left[\begin{array}{cc}4 & 0 \\\\ -2 & -2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 2 & 3\end{array}\right]_{\mathrm{e}} C=\left[\begin{array}{ll}0 & 2 \\\\ 1 & 4\end{array}\right].
\left[\begin{array}{ll}6 & 0 \\\\ 3 & 8\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}4 & 0 \\\\ -2 & -2\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ 1 & 4\end{pmatrix}
e pergunta se a matriz
D = \begin{pmatrix}6 & 0 \\\\ 3 & 8\end{pmatrix}
pode ser escrita como combinação linear de A,B,C. Para isso, vamos procurar escalares x,y,z tais que
xA + yB + zC = D.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear elemento a elemento, temos
x\begin{pmatrix}4 & 0 \\\\ -2 & -2\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix} + z\begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ 1 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 & 0 \\\\ 3 & 8\end{pmatrix}.

Passo 3

Igualando as entradas correspondentes, obtemos o sistema
\begin{cases} 4x + y + 0z = 6,\\\\ 0x - y + 2z = 0,\\\\ -2x + 2y + z = 3,\\\\ -2x + 3y + 4z = 8. \end{cases}

Passo 4

Da segunda equação vem
-y + 2z = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 2z.
Substituindo em 4x + y = 6
4x + 2z = 6 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{6 - 2z}{4} = \frac{3 - z}{2}.

Passo 5

Agora usamos a terceira equação:
-2\Bigl(\frac{3 - z}{2}\Bigr) + 2(2z) + z = 3 \;\Longrightarrow\; -(3 - z) + 4z + z = 3 \;\Longrightarrow\; -3 + z + 4z + z = 3 \;\Longrightarrow\; 6z = 6 \;\Longrightarrow\; z = 1.
Logo y = 2\cdot1 = 2 e x = \tfrac{3 - 1}{2} = 1. Verificamos na quarta equação:
-2\cdot1 + 3\cdot2 + 4\cdot1 = -2 + 6 + 4 = 8,
que confere.

Passo 6

Como encontramos x=1, y=2 e z=1 sem inconsistência, concluímos que
D = 1\cdot A + 2\cdot B + 1\cdot C.

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}6 & 0 \\\\ 3 & 8\end{pmatrix} = 1\,A + 2\,B + 1\,C,
ou seja, essa matriz é combinação linear de A, B e C.

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