Verifique se o conjunto dado, munido das operações de adição e de multiplicação por escalar especificadas, é um espaço vetorial. Se não for, especifique qual o axioma que não é satisfeito nesse caso.
(b) R^2, munido da operação usual de adição de vetores, mas a multiplicação por escalar dada por lambda[lx y]=[clambda x y], forall lambda in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o conjunto R^2 , com a adição usual de vetores e uma multiplicação por escalar específica, é um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender os axiomas de um espaço vetorial e ver se eles são todos satisfeitos com essas operações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de vetores onde podemos fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar (multiplicar um vetor por um número real). Para que esse conjunto seja realmente um espaço vetorial, essas operações precisam obedecer a certos axiomas.

Passo 3

Os principais axiomas que precisamos verificar são:
  1. Aditividade: A soma de dois vetores também deve estar no conjunto.
  2. Associatividade da adição: u + (v + w) = (u + v) + w
  3. Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que v + 0 = v
  4. Elemento inverso da adição: Para todo vetor v , existe -v tal que v + (-v) = 0
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar: a(bv) = (ab)v
  6. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: a(u + v) = au + av
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: (a + b)v = av + bv
  8. Elemento neutro da multiplicação por escalar: 1v = v
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.

Passo 4

Aditividade e associatividade: A adição está sendo feita de forma usual em R^2 , então a aditividade e a associatividade estão satisfeitas.
Elemento neutro da adição: O vetor zero 0 = 0 0 serve como neutro, pois v + 0 = v .
Elemento inverso da adição: Para qualquer vetor v = x y , o inverso é -v = -x -y , pois v + (-v) = 0 .

Passo 5

Agora, vamos verificar os axiomas relacionados à multiplicação por escalar.
Compatibilidade da multiplicação por escalar: Precisamos ver se a(bv) = (ab)v .
Vamos calcular ambos os lados:
  • bv = b x y
  • a(bv) = a b x y = a(b x) y = (ab) x y
  • (ab)v = (ab) x y
Os dois lados são iguais, então esse axioma é satisfeito.

Passo 6

Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Queremos ver se a(u + v) = au + av .
Seja u = x1 y1 e v = x2 y2 .
  • u + v = x1 + x2 y1 + y2
  • a(u + v) = a(x1 + x2) y1 + y2 = a x1 + a x2 y1 + y2
  • au + av = a x1 y1 + a x2 y2 = a x1 + a x2 y1 + y2
Os dois lados são iguais, então esse axioma também está satisfeito.

Passo 7

Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: Precisamos checar se (a + b)v = av + bv .
Vamos calcular ambos:
  • (a + b)v = (a + b)x y = a x + b x y
  • av + bv = a x y + b x y = a x + b x y + y = a x + b x 2y
Aqui, vemos que (a + b)v = a x + b x y não é igual a av + bv = a x + b x 2y a menos que y = 0 . Como isso nem sempre ocorre, esse axioma não é satisfeito.

Passo 8

Elemento neutro da multiplicação por escalar: Vamos verificar se 1v = v .
  • 1v = 1 cdot x y = x y = v
Esse axioma está satisfeito.

Resposta

Não, o conjunto R^2 com as operações dadas não é um espaço vetorial. O axioma da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não é satisfeito, já que (a + b)v neq av + bv para vetores gerais em R^2 .

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