Verifique se o conjunto dado, munido das operações de adição e de multiplicação por escalar especificadas, é um espaço vetorial. Se não for, especifique qual o axioma que não é satisfeito nesse caso.
(b) , munido da operação usual de adição de vetores, mas a multiplicação por escalar dada por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o conjunto , com a adição usual de vetores e uma multiplicação por escalar específica, é um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender os axiomas de um espaço vetorial e ver se eles são todos satisfeitos com essas operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de vetores onde podemos fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar (multiplicar um vetor por um número real). Para que esse conjunto seja realmente um espaço vetorial, essas operações precisam obedecer a certos axiomas.
Passo 3
Os principais axiomas que precisamos verificar são:
Aditividade: A soma de dois vetores também deve estar no conjunto.
Associatividade da adição:
Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que
Elemento inverso da adição: Para todo vetor , existe tal que
Compatibilidade da multiplicação por escalar:
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.
Passo 4
Aditividade e associatividade: A adição está sendo feita de forma usual em , então a aditividade e a associatividade estão satisfeitas.
Elemento neutro da adição: O vetor zero serve como neutro, pois v + 0 = v .
Elemento inverso da adição: Para qualquer vetor v = x y , o inverso é -v = -x -y , pois v + (-v) = 0 .
Passo 5
Agora, vamos verificar os axiomas relacionados à multiplicação por escalar.
Compatibilidade da multiplicação por escalar: Precisamos ver se a(bv) = (ab)v .
Vamos calcular ambos os lados:
bv = b x y
a(bv) = a b x y = a(b x) y = (ab) x y
(ab)v = (ab) x y
Os dois lados são iguais, então esse axioma é satisfeito.
Passo 6
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Queremos ver se a(u + v) = au + av .
Seja u = x1 y1 e v = x2 y2 .
u + v = x1 + x2 y1 + y2
a(u + v) = a(x1 + x2) y1 + y2 = a x1 + a x2 y1 + y2
au + av = a x1 y1 + a x2 y2 = a x1 + a x2 y1 + y2
Os dois lados são iguais, então esse axioma também está satisfeito.
Passo 7
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: Precisamos checar se (a + b)v = av + bv .
Vamos calcular ambos:
(a + b)v = (a + b)x y = a x + b x y
av + bv = a x y + b x y = a x + b x y + y = a x + b x 2y
Aqui, vemos que (a + b)v = a x + b x y não é igual a av + bv = a x + b x 2y a menos que y = 0 . Como isso nem sempre ocorre, esse axioma não é satisfeito.
Passo 8
Elemento neutro da multiplicação por escalar: Vamos verificar se 1v = v .
1v = 1 cdot x y = x y = v
Esse axioma está satisfeito.
Resposta
Não, o conjunto R^2 com as operações dadas não é um espaço vetorial. O axioma da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não é satisfeito, já que (a + b)v neq av + bv para vetores gerais em R^2 .