Verifique se o conjunto dado, munido das operações de adição e de multiplicação por escalar especificadas, é um espaço vetorial. Se não for, especifique qual o axioma que não é satisfeito nesse caso.
(d) O conjunto das matrizes
antissimétricas, com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por escalar.
(d) O conjunto das matrizes
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente conferir se um certo conjunto de matrizes, especificamente as matrizes antissimétricas de tamanho
, forma um espaço vetorial quando usamos a adição de matrizes e a multiplicação por escalar que a gente já conhece. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é um espaço vetorial e quais são os requisitos (os axiomas) que esse conjunto precisa cumprir para ser considerado um.
Passo 2
Primeiro, vamos refrescar a memória sobre o que é um espaço vetorial. Basicamente, um espaço vetorial é um conjunto de objetos (nesse caso, matrizes) que pode ser “somado” e “multiplicado por escalar” de maneira que certas regras (axiomas) sejam satisfeitas. Essas regras garantem que a estrutura do espaço vetorial seja bem comportada e que possamos fazer operações matemáticas de maneira consistente.
Passo 3
Agora, vamos listar os principais axiomas que um conjunto precisa cumprir para ser um espaço vetorial:
- Fechamento sob adição: Se você pegar duas matrizes no conjunto e somar elas, o resultado também precisa estar no conjunto.
- Fechamento sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma matriz do conjunto por qualquer número real (escalar), o resultado também precisa estar no conjunto.
- Existência do elemento neutro da adição: Deve existir uma matriz zero no conjunto, que somada a qualquer outra matriz não altera ela.
- Existência do elemento inverso aditivo: Para cada matriz no conjunto, deve existir outra matriz que, quando somadas, dão a matriz zero.
- Associatividade da adição: A ordem como somamos três matrizes não altera o resultado.
- Comutatividade da adição: A ordem das matrizes na soma não altera o resultado.
- Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Multiplicar um escalar pela soma de duas matrizes deve ser o mesmo que multiplicar o escalar por cada uma das matrizes e depois somar.
- Distribuição da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares: A soma de dois escalares multiplicada por uma matriz deve ser o mesmo que multiplicar cada escalar pela matriz e depois somar.
- Compatibilidade da multiplicação por escalares: Multiplicar dois escalares e depois uma matriz deve ser o mesmo que multiplicar um escalar pela matriz e depois pelo outro escalar.
- Elemento neutro da multiplicação por escalar: Multiplicar uma matriz por 1 deve resultar na própria matriz.
Passo 4
Vamos verificar se o conjunto das matrizes
antissimétricas satisfaz cada um desses axiomas:
- Fechamento sob adição: Se
e são matrizes antissimétricas, então . Então, também é antissimétrica. - Fechamento sob multiplicação por escalar: Se
é antissimétrica e é um escalar, então . Logo, também é antissimétrica. - Existência do elemento neutro da adição: A matriz zero, que tem todas as entradas iguais a zero, é antissimétrica porque
. Então, a matriz zero está no conjunto. - Existência do elemento inverso aditivo: Se
é antissimétrica, então também é antissimétrica e . - Associatividade da adição: A adição de matrizes é associativa em geral, então também se aplica aqui.
- Comutatividade da adição: A adição de matrizes é comutativa em geral, então também se aplica aqui.
- Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Para matrizes antissimétricas
e e escalar , temos , o que já vimos que são antissimétricas. - Distribuição da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares: Para matrizes antissimétricas
e escalares e , , que são antissimétricas. - Compatibilidade da multiplicação por escalares: Para matriz antissimétrica
e escalares e , , que mantém a antissimetria. - Elemento neutro da multiplicação por escalar: Multiplicar a matriz antissimétrica
por 1 resulta em , mantendo a antissimetria.
Resposta
Todas as propriedades necessárias são satisfeitas, então o conjunto das matrizes
antissimétricas, com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial.