Verifique se o conjunto dado, munido das operações de adição e de multiplicação por escalar especificadas, é um espaço vetorial. Se não for, especifique qual o axioma que não é satisfeito nesse caso.
(d) O conjunto das matrizes n times n antissimétricas, com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por escalar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente conferir se um certo conjunto de matrizes, especificamente as matrizes antissimétricas de tamanho n times n, forma um espaço vetorial quando usamos a adição de matrizes e a multiplicação por escalar que a gente já conhece. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é um espaço vetorial e quais são os requisitos (os axiomas) que esse conjunto precisa cumprir para ser considerado um.

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar a memória sobre o que é um espaço vetorial. Basicamente, um espaço vetorial é um conjunto de objetos (nesse caso, matrizes) que pode ser “somado” e “multiplicado por escalar” de maneira que certas regras (axiomas) sejam satisfeitas. Essas regras garantem que a estrutura do espaço vetorial seja bem comportada e que possamos fazer operações matemáticas de maneira consistente.

Passo 3

Agora, vamos listar os principais axiomas que um conjunto precisa cumprir para ser um espaço vetorial:
  1. Fechamento sob adição: Se você pegar duas matrizes no conjunto e somar elas, o resultado também precisa estar no conjunto.
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma matriz do conjunto por qualquer número real (escalar), o resultado também precisa estar no conjunto.
  3. Existência do elemento neutro da adição: Deve existir uma matriz zero no conjunto, que somada a qualquer outra matriz não altera ela.
  4. Existência do elemento inverso aditivo: Para cada matriz no conjunto, deve existir outra matriz que, quando somadas, dão a matriz zero.
  5. Associatividade da adição: A ordem como somamos três matrizes não altera o resultado.
  6. Comutatividade da adição: A ordem das matrizes na soma não altera o resultado.
  7. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Multiplicar um escalar pela soma de duas matrizes deve ser o mesmo que multiplicar o escalar por cada uma das matrizes e depois somar.
  8. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares: A soma de dois escalares multiplicada por uma matriz deve ser o mesmo que multiplicar cada escalar pela matriz e depois somar.
  9. Compatibilidade da multiplicação por escalares: Multiplicar dois escalares e depois uma matriz deve ser o mesmo que multiplicar um escalar pela matriz e depois pelo outro escalar.
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: Multiplicar uma matriz por 1 deve resultar na própria matriz.

Passo 4

Vamos verificar se o conjunto das matrizes n times n antissimétricas satisfaz cada um desses axiomas:
  1. Fechamento sob adição: Se A e B são matrizes antissimétricas, então (A + B)^T = A^T + B^T = -A + (-B) = -(A + B). Então, A + B também é antissimétrica.
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se A é antissimétrica e k é um escalar, então (kA)^T = kA^T = k(-A) = -kA. Logo, kA também é antissimétrica.
  3. Existência do elemento neutro da adição: A matriz zero, que tem todas as entradas iguais a zero, é antissimétrica porque 0^T = 0 = -0. Então, a matriz zero está no conjunto.
  4. Existência do elemento inverso aditivo: Se A é antissimétrica, então -A também é antissimétrica e A + (-A) = 0.
  5. Associatividade da adição: A adição de matrizes é associativa em geral, então também se aplica aqui.
  6. Comutatividade da adição: A adição de matrizes é comutativa em geral, então também se aplica aqui.
  7. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Para matrizes antissimétricas A e B e escalar k, temos k(A + B) = kA + kB, o que já vimos que são antissimétricas.
  8. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares: Para matrizes antissimétricas A e escalares k e m, (k + m)A = kA + mA, que são antissimétricas.
  9. Compatibilidade da multiplicação por escalares: Para matriz antissimétrica A e escalares k e m, k(mA) = (km)A, que mantém a antissimetria.
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: Multiplicar a matriz antissimétrica A por 1 resulta em A, mantendo a antissimetria.

Resposta

Todas as propriedades necessárias são satisfeitas, então o conjunto das matrizes n times n antissimétricas, com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial.

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