A explosão da usina de Chernobyl em 1986 lançou aproximadamente 1000 quilogramas do elemento radioativo césio 137 na atmosfera. Sabendo que o césio 137 possui uma meia vida de 30 anos, ou seja, a cada 30 anos a quantidade de césio 137 cai pela metade.
a) Escreva a função que descreve a massa de césio na atmosfera em função do tempo.
b) Determine em quanto tempo a massa de césio na atmosfera reduzirá a 1 kg .

Passo 1

O enunciado diz que inicialmente há 1000 kg de césio 137 na atmosfera e que a cada 30 anos essa massa cai à metade (meia\hyp vida). O conteúdo aqui é decaimento exponencial, cuja fórmula geral é
M(t) = M0 ,l(tfrac12r)^t/T,
onde M0 é a massa inicial e T é a meia\hyp vida.

Passo 2

Substituindo M0=1000 kg e T=30 anos na fórmula do decaimento, obtemos
M(t) = 1000 ,l(tfrac12r)^t30

Passo 3

Para achar o tempo t em que M(t)=1 kg, resolvemos
1000 ,l(tfrac12r)^t30 = 1
Dividindo por 1000 e aplicando logaritmo natural, temos
l(tfrac12r)^t30 = 10^-3, t30,ln!l(tfrac12r) = ln(10^-3) = -3ln(10)
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t = 30 ,-3ln(10)ln(tfrac12) = 30 ,3ln(10)ln(2)
Numericamente, ln(10)/ln(2)approx3,3219, então
t approx 30 times 3 times 3,3219 approx 299 anos

Resposta

a) M(t) = 1000 ,l(tfrac12r)^t30.
b) Aproximadamente 299 anos.

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