Verifique se o conjunto dado, munido das operações de adição e de multiplicação por escalar especificadas, é um espaço vetorial. Se não for, especifique qual o axioma que não é satisfeito nesse caso.
(a) O conjunto de todos os vetores [lx y] in R^2 tais que x y >= 0, com as operações usuais de adição de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um conjunto de vetores no plano R^2 que satisfazem a condição x cdot y >= 0. Queremos saber se esse conjunto, com as operações normais de adição de vetores e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Para resolver isso, precisamos revisar os axiomas que definem um espaço vetorial e checar um por um se eles são atendidos por esse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de ter operações de adição e multiplicação por escalar bem definidas, satisfaz vários axiomas, como a existência de um vetor zero, a existência de inversos aditivos, a associatividade e comutatividade da adição, entre outros.

Passo 3

Vamos começar verificando alguns desses axiomas. Vamos ver se o vetor zero pertence ao nosso conjunto. O vetor zero é 0 0. Calculando 0 cdot 0 = 0, que satisfaz a condição x cdot y >= 0. Então, o vetor zero está no conjunto.

Passo 4

Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Vamos pegar dois vetores quaisquer do conjunto, digamos x1 y1 e x2 y2, onde x1 y1 >= 0 e x2 y2 >= 0. Somando eles, temos x1 + x2 y1 + y2. Precisamos verificar se (x1 + x2)(y1 + y2) >= 0.

Passo 5

Vamos analisar um caso específico para ver se isso sempre acontece. Considere os vetores 1 1 e 1 -1. Ambos estão no conjunto porque 1 cdot 1 = 1 >= 0 e 1 cdot (-1) = -1 >= 0 (na verdade, nesse último caso, 1 cdot (-1) = -1, que é menor que 0, então esse vetor não está no conjunto). Mas para ilustrar, suponha vetores que satifiquem a condição: 2 3 e 4 5. A soma é 6 8, e 6 cdot 8 = 48 >= 0, que está ok. Porém, se escolhermos vetores onde a soma pode resultar em um produto negativo, o axioma de fechamento falha.

Passo 6

Outro axioma importante é o fechamento sob multiplicação por escalar. Se pegarmos um vetor no conjunto e multiplicarmos por um escalar, o produto ainda deve satisfazer x cdot y >= 0. Por exemplo, tomando 2 3 e multiplicando por -1, obtemos -2 -3, e (-2) cdot (-3) = 6 >= 0, o que está ok. Mas, se o vetor original tiver componentes de sinais diferentes e multiplicarmos por um escalar negativo, o resultado pode não satisfazer a condição.

Passo 7

Porém, observando o passo 5, já vimos que nem sempre a soma de dois vetores do conjunto está dentro do conjunto. Isso significa que o axioma de fechamento sob adição não é sempre satisfazido.

Resposta

O conjunto não é um espaço vetorial porque não satisfaz o axioma de fechamento sob adição de vetores.

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