Verifique se o conjunto S é subespaço do espaço vetorial V nos seguintes casos:
(a) S=A in M2(R): 2 a11+3 a22=0, V=M2(R).

Passo 1

Vamos analisar se o conjunto S = A in M2(R) : 2a11 + 3a22 = 0 é um subespaço do espaço vetorial V = M2(R) . Para isso, precisamos entender o que significa ser um subespaço. Um subespaço deve satisfazer três condições principais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto S contém o vetor zero. O vetor zero no espaço das matrizes 2x2 é a matriz onde todas as entradas são zero:
O = 0 & 0 0 & 0
Substituindo na condição de S :
2(0) + 3(0) = 0
Como a igualdade se mantém, o vetor zero está em S .

Passo 3

Agora, vamos verificar se S é fechado sob adição. Ou seja, se A e B estão em S , então A + B também deve estar em S .
Sejam:
A = a11 & a12 a21 & a22 e B = b11 & b12 b21 & b22
Como A e B pertencem a S , temos:
2a11 + 3a22 = 0 e 2b11 + 3b22 = 0
Somando A + B :
A + B = a11 + b11 & a12 + b12 a21 + b21 & a22 + b22
Verificando a condição para A + B :
2(a11 + b11) + 3(a22 + b22) = (2a11 + 3a22) + (2b11 + 3b22) = 0 + 0 = 0
Portanto, A + B também pertence a S .

Passo 4

Por fim, vamos verificar se S é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se A está em S e lambda é um número real, então lambda A também deve estar em S .
Considerando:
lambda A = lambda a11 & lambda a12 lambda a21 & lambda a22
Verificando a condição para lambda A :
2(lambda a11) + 3(lambda a22) = lambda(2a11 + 3a22) = lambda cdot 0 = 0
Assim, lambda A também pertence a S .

Resposta

Como o conjunto S contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que S é um subespaço do espaço vetorial V = M2(R) .

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