Verifique se o conjunto é subespaço do espaço vetorial nos seguintes casos:
(a) .
Passo 1
Vamos analisar se o conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Para isso, precisamos entender o que significa ser um subespaço. Um subespaço deve satisfazer três condições principais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o conjunto contém o vetor zero. O vetor zero no espaço das matrizes 2x2 é a matriz onde todas as entradas são zero:
Substituindo na condição de S :
2(0) + 3(0) = 0
Como a igualdade se mantém, o vetor zero está em S .
Passo 3
Agora, vamos verificar se S é fechado sob adição. Ou seja, se A e B estão em S , então A + B também deve estar em S .
Sejam:
A = a11 & a12 a21 & a22 e B = b11 & b12 b21 & b22
Como A e B pertencem a S , temos:
2a11 + 3a22 = 0 e 2b11 + 3b22 = 0
Somando A + B :
A + B = a11 + b11 & a12 + b12 a21 + b21 & a22 + b22
Por fim, vamos verificar se S é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se A está em S e lambda é um número real, então lambda A também deve estar em S .
Como o conjunto S contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que S é um subespaço do espaço vetorial V = M2(R) .