Em vez de usar as definições usuais de soma e multiplicação por escalar em
, defina essas duas operações, como abaixo:
Com cada uma dessas novas definições,
é um
-espaço vetorial? Justifique em cada caso.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
com as seguintes operações “novas”:
Pergunta-se se, com essas operações,
é um espaço vetorial sobre
. Para resolver, vamos lembrar os axiomas de espaço vetorial e testar cada um.
Passo 2
Verificamos primeiro os axiomas que dependem só da adição. Como a soma é exatamente a usual em
, sabemos que
- É fechada, associativa e comutativa.
- Existe elemento neutro
. - Todo
tem inverso aditivo .
Logoé um grupo abeliano.
Passo 3
Agora testamos os axiomas que envolvem a multiplicação por escalar:
– Neutralidade:
– Neutralidade:
– Compatibilidade com produto de escalares: para
,
Portanto esses dois axiomas são atendidos.
Passo 4
Falta verificar as duas distributividades. A distributividade da multiplicação sobre a soma de vetores dá
enquanto
Esses dois resultados coincidem, então essa distributividade vale.
Mas a outra distributividade, sobre a soma de escalares, exige
O lado esquerdo é
enquanto o lado direito é
Como
em geral, esses são diferentes sempre que
. Logo falha a distributividade