Em vez de usar as definições usuais de soma e multiplicação por escalar em \mathbb{R}^{2}, defina essas duas operações, como abaixo:
\left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right), a(x, y)=(a x, y)
Com cada uma dessas novas definições, \mathbb{R}^{2} é um \mathbb{R}-espaço vetorial? Justifique em cada caso.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto \mathbb{R}^2 com as seguintes operações “novas”:
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)\;=\;(x_1+x_2,\;y_1+y_2),
a\cdot(x,y)\;=\;(a\,x,\;y).
Pergunta-se se, com essas operações, \mathbb{R}^2 é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Para resolver, vamos lembrar os axiomas de espaço vetorial e testar cada um.

Passo 2

Verificamos primeiro os axiomas que dependem só da adição. Como a soma é exatamente a usual em \mathbb{R}^2, sabemos que
  1. É fechada, associativa e comutativa.
  2. Existe elemento neutro (0,0).
  3. Todo (x,y) tem inverso aditivo ({-x},-y).
    Logo (\mathbb{R}^2,+) é um grupo abeliano.

Passo 3

Agora testamos os axiomas que envolvem a multiplicação por escalar:
– Neutralidade:
1\cdot(x,y)=(1\cdot x,y)=(x,y).
– Compatibilidade com produto de escalares: para a,b\in\mathbb{R},
a\bigl(b\cdot(x,y)\bigr) =a\,(b x\,,\,y) =\bigl(a\,(b x)\,,\,y\bigr) =\bigl((ab)x\,,\,y\bigr) =(ab)\cdot(x,y).
Portanto esses dois axiomas são atendidos.

Passo 4

Falta verificar as duas distributividades. A distributividade da multiplicação sobre a soma de vetores dá
a\cdot\bigl((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\bigr) =a\cdot(x_1+x_2,\;y_1+y_2) =\bigl(a(x_1+x_2),\;y_1+y_2\bigr)
enquanto
a\cdot(x_1,y_1)+a\cdot(x_2,y_2) =(ax_1,y_1)+(ax_2,y_2) =(ax_1+ax_2,\;y_1+y_2).
Esses dois resultados coincidem, então essa distributividade vale.
Mas a outra distributividade, sobre a soma de escalares, exige
(a+b)\cdot(x,y) \;\stackrel{?}{=}\; a\cdot(x,y)+b\cdot(x,y).
O lado esquerdo é
(a+b)\cdot(x,y)=\bigl((a+b)x,\;y\bigr),
enquanto o lado direito é
a\cdot(x,y)+b\cdot(x,y) =(ax,y)+(bx,y) =(ax+bx,\;y+y) =\bigl((a+b)x,\;2y\bigr).
Como \;y\neq2y em geral, esses são diferentes sempre que y\neq0. Logo falha a distributividade
(a+b)\cdot(x,y)=a\cdot(x,y)+b\cdot(x,y).

Resposta

\mathbb{R}^2 com as operações dadas NÃO é um \mathbb{R}-espaço vetorial, pois falha a propriedade
(a+b)\,v = a\,v + b\,v.

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