Verifique em cada caso se W é um subespaço de V.
V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), W=\left\{a+b x+c x^{2} \in V ; a+b+c=0\right\}

Passo 1

O enunciado diz que V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) é o espaço de todos os polinômios de grau <=2, e que
W=\{\,a+bx+cx^{2}\in V \mid a+b+c=0\}.
Queremos verificar se W é subespaço de V. Para isso, vamos usar o teste de subespaço:
  1. W\neq\emptyset.
  2. Fechamento em soma: se p,q\in W então p+q\in W.
  3. Fechamento em escalares: se p\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda p\in W.

Passo 2

Verificar que W não é vazio. O polinômio zero em V é 0(x)=0+0x+0x^{2}. Como
0+0+0=0,
segue que 0(x)\in W. Logo, W\neq\emptyset.

Passo 3

Verificar fechamento em soma. Tomemos
p(x)=a_{1}+b_{1}x+c_{1}x^{2},\quad q(x)=a_{2}+b_{2}x+c_{2}x^{2}
com a_{1}+b_{1}+c_{1}=0 e a_{2}+b_{2}+c_{2}=0. Então
(p+q)(x)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})x+(c_{1}+c_{2})x^{2}.
Como
(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})+(c_{1}+c_{2}) =(a_{1}+b_{1}+c_{1})+(a_{2}+b_{2}+c_{2}) =0+0=0,
segue (p+q)(x)\in W.

Passo 4

Verificar fechamento em escalares. Seja p(x)=a+bx+cx^{2}\in W e \lambda\in\mathbb{R}. Então
(\lambda p)(x)=\lambda a+(\lambda b)x+(\lambda c)x^{2},
e
\lambda a+\lambda b+\lambda c =\lambda\,(a+b+c) =\lambda\cdot 0 =0.
Logo \lambda p\in W.

Passo 5

Como W contém o polinômio zero, é fechado em soma e fechado em multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço de V.

Resposta

W é subespaço de V.

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